Modèle-SIR.md

@@ -28,7 +28,7 @@ Pour ce projet, vous devrez modéliser et implémenter la résolution des équat
 
 1. Utilisez les équations ci-dessus et la résolution numérique d'équations différentielles pour calculer l'évolution temporelle d'une maladie avec les paramètres $`\beta = 0.3`$ et $`\gamma = 0.1`$. Affichez graphiquement les valeurs de S, I et R en fonction du temps.
 
-1. Cette maladie est maintenant mortelle dans certains cas: on modifie les équations par:
+2. Cette maladie est maintenant mortelle dans certains cas: on modifie les équations par:
 
 ```math
 \frac{dS}{dt} = - \frac{\beta I S}{N} \hspace{1cm} 
@@ -39,7 +39,7 @@ Pour ce projet, vous devrez modéliser et implémenter la résolution des équat
 
 Fixez $`\mu = 0.02`$ et simulez de nouveau l'évolution. De nouveau, affichez graphiquement les valeurs en ajoutant N qui est maintenant variable.
 
-1. Jusqu'ici nous avons simulé l'évolution de la maladie dans un espace isolé. Il est également intéressant d'étudier sa propagation dans une espace à deux dimensions. On représente la transmission des maladies entre cellules adjacentes par les équations modifiées suivantes:
+3. Jusqu'ici nous avons simulé l'évolution de la maladie dans un espace isolé. Il est également intéressant d'étudier sa propagation dans une espace à deux dimensions. On représente la transmission des maladies entre cellules adjacentes par les équations modifiées suivantes:
 
 ```math
 \frac{dS}{dt}(x,y,t) = - \frac{\beta S}{N}\cdot (I + D\frac{\partial^2 I}{\partial x^2} + D\frac{\partial^2 I}{\partial y^2})
@@ -60,6 +60,26 @@ Les dérivées secondes sont calculées selon la formule suivante:
 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{ \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} - \frac{f(x) - f(x+\Delta x)}{\Delta x}}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x) + f(x - \Delta x) - 2 f(x)}{\Delta x^2}
 ```
 
-Simulez l'évolution de la maladie pendant 500 intervalles de temps en construisant une grille de 100 x 100 cellules. Affichez l'état après 0, 100, 200, ... intervalles dans des graphes séparés pour pouvoir bien observer l'évolution. Vous démarrerez la simulation avec toutes les cellules composées uniquement de perosnnes saines sauf une dans laquelle 10% de la population est infectée.
+Simulez l'évolution de la maladie pendant 500 intervalles de temps en construisant une grille de 100 x 100 cellules, pour une valeur de D = 1. Affichez l'état après 0, 100, 200, ... intervalles dans des graphes séparés pour pouvoir bien observer l'évolution. Vous démarrerez la simulation avec toutes les cellules composées uniquement de personnes saines sauf une dans laquelle 10% de la population est infectée.
 
-Construisez une animation de l'évolution de la maladie en utilisant le module `animation` de matplotlib.
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+Construisez ensuite une animation de l'évolution de la maladie en utilisant le module `animation` de matplotlib.
+
+4. Dans la simulation précédent, ajoutez un mur (ligne de cellules de population 0) qui coupe l'espace en deux. Vérifiez que la maladie ne traverse pas. Ensuite, ajoutez une porte dans le mur et observez comment la maladie se propage dans ce cas.
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+5. Nous aimerions maintenant étudier l'effet des vaccins sur la propagation des maladies. On modélise l'effet d'un vaccin avec la modification suivante: si une certaine proportion $`p_1`$ de la population est vaccinée et que le vaccin a une efficacité $`p_2`$, le facteur $`\beta`$ sera réduit en un facteur $`\beta^* = (1-p_1 p_2) \cdot \beta`$.
+
+Pour plus de réalisme , nous allons d'abord remplacer notre modèle continu par un modèle discrétisé et stochastique: Les nombres de personnes nouvellement infectées, guéries et mortes à chaque étape seront tirées aléatoirement selon un distribution de Poisson dont la moyenne est donnée par les équations de base. Par exemple, dans le cas à 0 dimension que nous avons traité au début, le nombre de nouveaux malades sera tiré selon une distribution de poisson avec
+
+```math
+\lambda_i = \frac{\beta I S}{N}
+```
+
+les nombres de nouveaux guéris et de nouveaux morts seront traités de manière similaire. Réalisez cette simulation à 0 dimensions et vérifiez que pour une grande population (10000 personnes) vous retrouvez les mêmes comportements que dans le cas continu.
+
+6. Ajoutez maintenant l'effet des vaccins à votre modèle, et observez l'effet pour $`p_1 p_2 = 0.5, 0.7, 0.8, 0.9`$.
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+7. Étendez à nouveau cette simulation stochastique à deux dimensions. Cette fois, fixez la population par cellule à 1 sauf pour trois villages de 5x5 cellules placés où vous voulez et dans lesquels la population est de 100 personnes par cellules. Utilisez votre code précédent pour afficher l'évolution de la maladie.
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+8. Fixez les valeurs de $`p_1 p_2`$ à 0.5, 0.8 et 0.9 dans les trois villages et affichez l'évolution du nombre de malades dans chaque village.
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+9. Dans un espace de densité de population uniforme, pour les paramètres $`\beta = 0.3`$ et $`\gamma = 0.1`$, déterminez la valeur minimum de $`p_1 p_2`$ pour que la maladie ne s'étende pas.
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