Simulation de la descente d'un module spatial.

Introduction

Description du projet

Le but de ce projet sera de simuler la ré-entrée d'une capsule Soyuz.

Au sein d'un module spatial en orbite autour de la Terre (à bord l'ISS), on déclenchera des réacteurs pour diminuer progressivement la vitesse radiale de la capsule et entamer la descente sur Terre.

En diminuant le moment cinétique interne, le périgée de la trajectoire sera également réduit, suffisamment pour atteindre les couches supérieures de l'atmosphère.

Une fois dans l'atmosphère, la capsule ralentira d'elle même suite à l'action des frottements de l'air. Dès qu'une altitude et vitesse relative suffisamment faibles sont atteintes, deux parachutes seront déployés à des altitudes différentes.

Grandes lignes du projet et difficultés potentielles

Dans ce projet, il sera nécessaire d'implémenter et de résoudre un modèle physique pour des engins spatiaux. Il faudra prendre en compte la gravité, les forces de frottement dans un modèle simplifié d'atmosphère, la poussée des moteurs et la masse variable des engins spatiaux. La rotation de la Terre ne pourra pas non plus être négligée.

Une fois le moteur physique implémenté, il faudra simuler les paramètres de la descente, de déterminer la quantité de carburant nécessaire pour rentrer sur Terre, les altitudes respectives du déploiement des deux parachutes, la vitesse du module qui arrive à la surface de la Terre et l'accélération subie par les cosmonautes.

Ingrédients du modèle

Dans ce modèle simplifié, nous considérerons les aspects suivants :

• Nous approximons la Terre comme un astre à symétrie sphérique, mais nous ne négligeons pas le fait qu'elle tourne sur elle-même. On considérera que la fusée a été mise en orbite autour de l'équateur.
• Notre modèle de densité atmosphérique sera le suivant:

À faible altitude ( h_0 < h < h_1 ), on prendra :

\rho(h) = \rho(h_0) \cdot \left( \frac{T_0}{T_0 - L_B\cdot(h-h_0)} \right)^{1-g\kappa/L_B}

où

• Si h_0 est le rayon de la Terre (6 371 km), T_0 = 288.15 K.
• g = 9.80665 m/s²
• \kappa = 0.0034836 m²/(K s²)
• L_B = 0.0065 K/m
• h_1 \approx 15 km

À haute altitude (h > h_1), on prendra une densité exponentiellement décroissante :

\rho(h) = A \cdot e^{-\beta (h-h_1)}

où, par continuité, on aura :

• A = \rho_1 \equiv \rho(h_1) obtenue en utilisant l'équation à faible altitude
• \beta = -\frac{(1-g\kappa/L_B) L_b}{T_0} \left( \frac{T_0}{T_0 - L_b ( h_1 - h_0 )}\right)

De plus, on aura

• Les forces de frottements de l'air pour un élément de fusée i sont donnés par F = \frac{1}{2} \rho v^2 C_i.
• La pression liée à ces forces ne peut pas dépasser un certain maximum (P_{max}) sans faire flamber la capsule.
• L'accélération ne peut pas dépasser un certain G_{max} sans tuer les astronautes.

Consignes

• Sur base d'une vitesse initiale v = \sqrt{\frac{GM}{r}} et un rayon de ~400km, simulez le temps de chute et la position d'arrivée en fonction d'un \Delta v initial.

• Déterminer l'accélération et la pression max si on ne déploie pas ses parachutes. Le module Soyuz a une masse de 3 tonnes, et une constante C \sim 1.8

• Sachant que la capsule possède 4 parachutes différents de constantes respectives valant 0.6, 4, 20, 1000, déployées à des hauteurs différentes, déterminez l'accélération maximale pour différentes hauteurs de déploiement. Déterminez les hauteurs de déploiement pour limiter la pression et accélération maximale subie par la capsule.

Une fois satisfaits de votre simulation de déploiement de parachute, il faut maintenant décider de l'endroit où faire atterrir la capsule. Supposez l'orbite initiale le long de l'équateur en commençant exactement sur le méridien de greenwich.

• Trouvez les \Delta v_1 et t_1 du burn pour arriver à une longitude arbitraire entrée par l'utilisateur
• Pour arriver sur un point différent de l'équateur, il faudra d'abord changer d'orbite à l'aide d'un \Delta v_0 perpendiculaire. Déterminez pour des latitudes et longitudes arbitraires les \Delta v_0; \Delta v_1; t_0; t_1 des burns nécessaires.