Détermination du seuil de percolation de 2 à 5 dimensions.

Introduction

Un problème de physique statistique pouvant être facilement modélisé numériquement est celui de la percolation. Supposons que nous ayons une grille de taille NxN dont chaque contient une bille pouvant être soit conductrice, soit isolante. On remplit la grille de manière aléatoire avec ces billes et l'on note la probabilité pour une bille d'être conductrice "p". Pour chacune de ces grilles, on essaie de faire passer un courant électrique de haut en bas. Ceci ne sera possible que si il existe un chemin de billes conductrices traversant verticalement la grille.

Exemple 1 : deux gilles 10x10 remplies avec p = 0.5. La grille de gauche est conductrice, celle de droite pas.

On se pose les questions suivantes :

• Quelle est la probabilité d'une grille 5x5 d'être conductrice en fonction de p?
• Observer comment ce comportement varie en fonction de la taille de la grille (par ex. 10x10, 30x30, 100x100).
• Pour N grand, on peut trouver une probabilité critique "pc" telle que la grille passe d'isolante à conductrice. Trouver ces valeurs pour une grille de 2, 3, 4 et 5 dimensions. Elles devraient valoir théoriquement les valeurs suivantes :
  • d = 2 , pc = 0.593
  • d = 3 , pc = 0.311
  • d = 4 , pc = 0.197
  • d = 5 , pc = 0.141