From 5b4aad152e5fb6a628004dbbd1a4d01419d2f6a9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: StanislasG <48719820+StanislasG@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 Feb 2020 17:45:53 +0100 Subject: [PATCH] [FSAB1105] examen 2018 septembre (#766) * [LFASB1105] examen 2018 septembre with correctio * [LFASB1105] examen 2018 change variable name Co-Authored-By: Jean-Martin Vlaeminck <jmartin.vlaeminck@gmail.com> * [LFASB1105] examen 2018 sign errors Co-Authored-By: Jean-Martin Vlaeminck <jmartin.vlaeminck@gmail.com> * [LFASB1105] examen 2018 sign errors Co-Authored-By: Jean-Martin Vlaeminck <jmartin.vlaeminck@gmail.com> * Apply suggestions from code review Co-Authored-By: Jean-Martin Vlaeminck <jmartin.vlaeminck@gmail.com> Co-authored-by: Jean-Martin Vlaeminck <jmartin.vlaeminck@gmail.com> Co-authored-by: Martin Braquet <martin.braquet@student.uclouvain.be> --- .../stat-FSAB1105-exam-2018-Septembre-All.tex | 26 +++++++++++++++---- 1 file changed, 21 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/src/q5/stat-FSAB1105/exam/2018/Septembre/All/stat-FSAB1105-exam-2018-Septembre-All.tex b/src/q5/stat-FSAB1105/exam/2018/Septembre/All/stat-FSAB1105-exam-2018-Septembre-All.tex index b024ed2c9..e9dd7a068 100644 --- a/src/q5/stat-FSAB1105/exam/2018/Septembre/All/stat-FSAB1105-exam-2018-Septembre-All.tex +++ b/src/q5/stat-FSAB1105/exam/2018/Septembre/All/stat-FSAB1105-exam-2018-Septembre-All.tex @@ -65,7 +65,7 @@ $+0.8$ pour une bonne réponse, $-0.2$ pour une mauvaise réponse et $0$ pour un Par définition, le coefficient de variation est : $$c_v = \frac{s}{\overline{x}}\, .$$ C'est l'écart-type relatif (sans unité). Du coup, $s = c_v \overline{x} = 0$: l'écart-type est nul (réponse c). Par ailleurs, la variance est nulle aussi car c'est l'écart-type au carré. Comme il n'y a pas de variation, les valeurs sont toutes identiques (réponse b). - \item On cherche $F(m)=0.5$, seul le cas où $0 \le x < 1$ est possible et cela donne $m=0.87$. + \item On cherche $F(m)=0.5$, seul le cas où $0 \le x < 1$ est possible et cela donne: $\frac{3m^3}/4=0.5$. Du coup $m=0.87$. \item \end{enumerate} \end{solution} @@ -90,8 +90,24 @@ $+0.8$ pour une bonne réponse, $-0.2$ pour une mauvaise réponse et $0$ pour un en utilisant le fait que pour des VA iid, l'espérance d'un produit est égal au produit des espérances. Ce résultat n'est autre que la fonction génératrice de moments d'une distribution de Poisson de paramètre \( \sum_k \lambda_k \). Par équivalence entre distribution et fonction génératrice de moments, on peut donc affirmer que \[ T \sim \textrm{Po}\left(\sum_{k = 1}^{K} \lambda_k\right) \] - \item - \item + \item $P(X>120) = 1 - P(X \leqslant 120) = 1 -$ cdfPoisson($ \lambda$ = 100, start=0, end= 120) $=0.02267$ + \item Distribution conditionelle : + \begin{align*} + P(Y=y | X=x) &= \frac{p(x,y)}{p_x(x)}\\ + p(x,y) &= p_X(x) p(y|x) + \end{align*} + + soit $z=x-y$, si $x \leqslant y$ alors ${x \choose y}$=0 + \begin{align*} + P(Y=y) &= \sum_{x=0}^{\infty} P(Y=y, X=x)\\ + &=\sum_{z=0}^{\infty} P(Y=y, X=z+y)\\ + &=\sum_{z=0}^{\infty} \textrm{Po}(\lambda) \textrm{Bin}(z+y,p)\\ + &=\sum_{z=0}^{\infty} \cfrac{e^{-\lambda} \lambda^{z+y} }{(z+y)!} \cfrac{(z+y)!}{(z+y-y)! y!} p^y (1-p)^z\\ + &= \cfrac{e^{- \lambda} \lambda^y}{y!} p^y \sum_{z=0}^{\infty} \cfrac{\lambda^z (1-p)^z}{z!} \\ + &= \cfrac{e^{- \lambda} \lambda^y}{y!} p^y e^{(1-p)\lambda}\\ + &= \cfrac{(p\lambda)^ye^{-\lambda p}}{y!}\\ + &= \textrm{Po}(\lambda p) + \end{align*} \end{enumerate} \end{solution} @@ -121,8 +137,8 @@ Femmes ``F'' & $n_F = 16$ & $\Bar{x} = 42$ & $s^2 = 20$\\ \begin{enumerate} \item On réalise le test d'hypothèse bilatéral $H_0 : \sigma^2_F = \sigma^2_H$ vs $H_1 : \sigma^2_F \neq \sigma^2_H$. - Le test statistique de \textit{Fisher}\footnote{Il faut mettre la valeur la plus grande au numérateur.} donne \( f = s_F/s_H = 1.1547 \). On rejette $H_0$ si - \[ f < F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2} = F_{15,20,0.975} = 0.4292 \qquad\mathrm{ou}\qquad f > F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2} = F_{15,20,0.05} = 2.2 \] + Le test statistique de \textit{Fisher}\footnote{Il faut mettre la valeur la plus grande au numérateur.} donne \( f = s^2_F/s^2_H = 1.333 \). On rejette $H_0$ si + \[f > F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2} = F_{15,20,0.025} = 2.57 \quad \mathrm{ou}\quad f < F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2} = F_{15,20,0.975} = F_{15,20,0.025}^{-1} = 0.39 \] La valeur observée est en dehors de la région de rejet, donc on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle. -- GitLab