diff --git a/Images/Winsberg.pdf b/Images/Winsberg.pdf
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..e49515525687c4b8c91507b745933c4e4c8fd392
Binary files /dev/null and b/Images/Winsberg.pdf differ
diff --git a/Images/mybinder.jpeg b/Images/mybinder.jpeg
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..03d849917ed3991f36906efc270111b093cd75d1
Binary files /dev/null and b/Images/mybinder.jpeg differ
diff --git a/Makefile b/Makefile
index 47b8b0f3a99ec28716755ca158e60d181981b1c9..38c2bb0ca540a51d48e15950fa2192163e5cfd11 100644
--- a/Makefile
+++ b/Makefile
@@ -1,3 +1,6 @@
+PYTHON = python3
+JOBNAME = PHY1303
+
 PHY1303.pdf : PHY1303.tex bratu.pdf heat_0.pdf \
 	heat_1.pdf heat_xl_1.pdf heat_xl_2.pdf \
 	oscillateur_energy1.pdf oscillateur_energy2.pdf \
@@ -12,64 +15,70 @@ pdf : PHY1303.tex
 	pdflatex PHY1303.tex
 
 bratu.pdf : bvp.py
-	python bvp.py
+	$(PYTHON) bvp.py
 
 bvp_prob1.pdf : bvp.py
-	python bvp.py
+	$(PYTHON) bvp.py
 
 bvp_prob2.pdf : bvp.py
-	python bvp.py
+	$(PYTHON) bvp.py
 
 bvp_error.pdf : bvp.py
-	python bvp.py
+	$(PYTHON) bvp.py
 
 oscillateur_energy1.pdf : oscillateur.py
-	python oscillateur.py
+	$(PYTHON) oscillateur.py
 
 
 oscillateur_energy2.pdf : oscillateur.py
-	python oscillateur.py
+	$(PYTHON) oscillateur.py
 
 
 oscillateur_euler.pdf : oscillateur.py
-	python oscillateur.py
+	$(PYTHON) oscillateur.py
 
 heat_0.pdf : heat.py
-	python heat.py
+	$(PYTHON) heat.py
 
 heat_1.pdf : heat.py
-	python heat.py
+	$(PYTHON) heat.py
 
 heat_xl_1.pdf : heat.py
-	python heat.py
+	$(PYTHON) heat.py
 
 heat_xl_2.pdf : heat.py
-	python heat.py
+	$(PYTHON) heat.py
 
 radio.pdf : radiodecay.py
-	python radiodecay.py
+	$(PYTHON) radiodecay.py
 
 radio_leapfrog.pdf : radiodecay.py
-	python radiodecay.py
+	$(PYTHON) radiodecay.py
 
 rounding_error.pdf : radiodecay.py
-	python radiodecay.py
+	$(PYTHON) radiodecay.py
 
 
 error.pdf : radiodecay.py
-	python radiodecay.py
+	$(PYTHON) radiodecay.py
 
 error_withRK4.pdf : radiodecay.py
-	python radiodecay.py
+	$(PYTHON) radiodecay.py
 
 upwind.pdf : advect.py
-	python advect.py
+	$(PYTHON) advect.py
 
 downwind.pdf : advect.py
-	python advect.py
+	$(PYTHON) advect.py
 
 compare_up_lax.pdf : advect.py
-	python advect.py
+	$(PYTHON) advect.py
+
+%.pdf: $(JOBNAME).tex %.tex 
+	pdflatex -jobname $(JOBNAME)  "\includeonly{$(basename $@)} \input{$(JOBNAME).tex}" && \
+	mv $(JOBNAME).pdf $(basename $@).pdf
+
+
 
 # PHY1303.f2.table : PHY1303.f2.gnuplot
 # 	gnuplot PHY1303.f2.gnuplot
@@ -86,4 +95,11 @@ compare_up_lax.pdf : advect.py
 make clean: 
 	rm -f *.pdf
 
+
+%.pdf: $(JOBNAME).tex %.tex 
+	pdflatex -jobname $(JOBNAME)  "\includeonly{$(basename $@)} \input{$(JOBNAME).tex}" && \
+	mv $(JOBNAME).pdf $(basename $@).pdf
+
+
+
 all: PHY1303.pdf
diff --git a/PHY1303.tex b/PHY1303.tex
index da483ca6d0b1c0323f082f1c17870f94f9b43465..d95003aea448702539f3c4d024c5b3d37fd5a9b9 100644
--- a/PHY1303.tex
+++ b/PHY1303.tex
@@ -120,10 +120,14 @@
 \date
 
 \author%[Author, Another] % (optional, use only with lots of authors)
-{ michel.crucifix@uclouvain.be }
+{ 
+  michel.crucifix@uclouvain.be (Intro + Différences finies) \\ 
+  francesco.ragone@uclouvain.be (Méthodes spectrales) \\ 
+  lilian.vanderveken (Exercices) 
+}
 \AtBeginSection[]
 {
-  \begin{frame}<beamer>{Plan de cours}
+  \begin{frame}<beamer>{Plan de cours \sc{Partie Crucifix}}
     \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
   \end{frame}
 }
@@ -146,1709 +150,9 @@
   % You might wish to add the option [pausesections]
 \end{frame}
 
-\begin{frame}
-\frametitle{Agenda 2019}
-
-Toutes les séances sont de 14h00 à 16h00
-Attention : changements de salles possibles. Consulter Moodle / ADE
-
-\bgroup
-% \rowcolors{1}{white}{gray} clashes later
-\begin{tabular}{llll}
-M & 05/02 & Chap. 1+2  & CYCL 06 \\
-\hline
-M & 12/02 & Chap. 2+3 & CYCL 06 \\
-J & 13/02 & Exo S\'eance 1  & CYCL 03 \\
-\hline
-M & 19/02 & Chap. 4 & CYCL 06 \\
-J & 20/02 & Exo S\'eance 2 & DAO \\
-\hline
-M & 26/02 & Chap. 4 + travaux & CYCL 06\\
-J & 27/02 & Exo S\'eance 3 & DAO \\
-\hline
-M & 04/03 & Chap. 5  &  CYCL 06  \\
-J & 05/03 & Exo S\'eance 4 & DAO \\
-\hline
-M & 18/03 & Chap. 6 & CYCL 06  \\
-J & 19/03 & Exo S\'eance 5 & DAO \\
-\hline
-M & 25/03 & Exo S\'eance 6 & DAO \\
-\end{tabular}
-\egroup
-\end{frame}
-
-\section{Introduction}
-\begin{frame}
-  \frametitle{Ouvrage de référence}
-  \begin{columns}
-    \column{.3\textwidth} \includegraphics[scale=2]{refbook}
-    \column{.7\textwidth} 
-     Introduction to Numerical Methods in Differential Equations \\
-     Mark H. Holmes \\ Springer Texts in Applied Mathematics (52)
-
-  \end{columns}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-  \frametitle{Simulation: Définition (dans notre contexte) ! }
-  \colorbox{blue!10}{\parbox[l]{\textwidth}
-  {\raggedright\Large\bf{
-  Résolution algorithmique d'un modèle (physique, chimique, biologique, économique \ldots) \emph{compliqué}.
-  }
-  }
-  }
- 
-  \begin{example}
-  \url{https://pmneila.github.io/jsexp/grayscott/ }
-  \end{example}
-
-
-  \begin{block}{Algorithme et equadiff}
-    Ce cours part du principe que des \emph{modèles} physiques (que nous allons considérer) sont exprimés sous la forme d'équations différentielles. Notre problème sera donc de réexprimer ces équations sous une forme algorithmique que nous estimons cohérente.
-  \end{block}
-
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-  \begin{tabular}{cc}
-    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_1.jpg} & 
-    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_2.jpg} \\ 
-    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_3.jpg} & 
-    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_4.png} \\ 
-  \end{tabular}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Deux approches complémentaires}
-  \begin{enumerate}
-    \item Élement d'une démarche théorique
-      \begin{itemize}
-        \item Étude des propriétés émergentes
-        \item Identification d'attracteurs; de points d'(in)stabilité
-        \item Mise à l'épreuve de différents modèles
-      \end{itemize}
-    \item Substitut à un système naturel = outil expérimental
-      \begin{itemize}
-        \item Expériences d'intervention impossibles à réaliser ou trop coûteuses
-        \item Générer des données difficiles à mesurer
-        \item Prévision / Prédiction
-      \end{itemize}
-  \end{enumerate}
-  \begin{block}{Conflit potentiel}
-    (1) va vers la simplification / parsimonie. (2) va vers le haut niveau de détail; fidélité au phénomène naturel. 
-  \end{block}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}
-  \frametitle{Épistémologie de la simulation}
-
-  \begin{itemize}
-    \item Simulateur = dispositif expérimental pour lequel il n'y a pas d'erreur de mesure
-    \item Sources d'incertitudes spécifiques, \emph{qu'il faut évaluer}:
-      \begin{enumerate}
-        \item Choix de représentation physique (modèle)  
-        \item Choix d'adaptation au cas particulier
-        \item Choix algorithmiques (nombreux et complexes)
-        \item Erreurs de codage  
-      \end{enumerate}
-    \item Role important des outils de visualisation et de post-traitement
-      \begin{itemize}
-        \item partie intégrante du processus de simulation
-      \end{itemize}
-  \end{itemize}
-
-  \begin{reference}
-    Eric Winsberg, Sanctioning Models: The Epistemology of Simulation,  Science in Context, 12, 275-292  1999  
-  \end{reference}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-  \frametitle{Contextes de simulation numérique}
-  \begin{enumerate}
-    \item Résolution d'équations différentielles
-      \begin{enumerate}
-        \item aux dérivées ordinaires (implique : conditions initiales)
-        \item aux dérivées partielles (implique : conditions frontières)
-        \item peuvent être stochastiques
-      \end{enumerate}
-    \item Problèmes d'optimisation (souvent définis comme des problèmes inverses)
-    \item Générer des distributions de probabilité
-  \end{enumerate}
-%  \begin{exercice}
-%    Citer un exemple pour chacun des trois cas de figure
-%  \end{exercice}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-  $\exists$ Déterministe ou Stochastique \newline
-  Déterministe  $\quad <> \quad $ Stochastique\newline
-  \vskip0.5em
-  \begin{block}{Simulateurs stochastiques: bien comprendre !}
-    Nos ordinateurs sont \textit{toujours} déterministes : \newline
-    Les simulateurs stochastiques utilisent des générateurs de pseudo-nombres
-    aléatoires\ldots \emph{qu'il faut évaluer} ! \newline
-  \end{block}
-\end{frame}
-\begin{frame}{Approches de programmation}
-Les informaticiens sont là pour établir des codes fiables, rapides, vérifiées. Mais c'est le job du physicien d'établir les critères dont dépendent la cohérence physique. 
-
-Il existe des dizaines de languages de programmation ! \emph{Vous êtes libre d'utiliser celui que vous voulez.}
-
-\begin{itemize}
-\item \emph{Procédural} (Fortran) ou \emph{fonctionnel} (LISP, Haskell)
-\item \emph{Impératif} (C) ou \emph{déclaratif} (Prolog, SQL)
-\item \emph{Orienté objet} (Python, Ruby, php) ou non (Fortran)
-\item \emph{Bas niveau} (Assembleur, C) ou \emph{Haut niveau} (Python, R, Julia)
-\item \emph{Concurrent} (Fortran + MPI, R (packages parallel),  Julia)
-\item \emph{Ancien} (Algol) ou très \emph{récent} (Julia)
-\item \emph{Commercial} (MATLAB) ou \emph{Libre} (Octave)
-\item \ldots
-\end{itemize}
-
-Voir : \url{http://rosettacode.org} et amusez-vous ! 
-%  \begin{itemize}
-%    \item Languages compilés : excellente optimisation
-%      \begin{itemize}
-%        \item C, C++, Fortran
-%      \end{itemize}
-%    \item Languages interprétés : flexibles et conviviaux
-%      \begin{itemize}
-%        \item \R, \texttt{python} (\texttt{numpy, scipy})  
-%        \item Systèmes commerciaux : Matlab, Mathematica \ldots
-%        \item et clones (octave)
-%      \end{itemize}
-%    \item + Librairies standards, optimisées
-%      \begin{itemize}
-%        \item  gsl
-%        \item  LAPACK, BLAS, UMFPACK
-%        \item \ldots souvent présentes dans les langagues interprétés
-%      \end{itemize}
-%  \end{itemize}
-%  \begin{block}{Mon principe}
-%    Favoriser les sytèmes open source (communauté internet) permettant des 
-%    inclusions de code compilé pour les parties critiques. Mes favoris: \R \ et \texttt{numpy / scipy}
-%  \end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
- \frametitle{L'examen}
- \begin{itemize}
-   \item  En semaine 4, nous vous communiquerons 4 ou 5 problèmes avec des consignes détaillées.
-   \item  Vous  allez former des groupes de 2. 
-   \item  Chaque problème ne peut être pris que par trois groupes différents. 
-   \item  Le jour de l'examen (session de juin):
-     \begin{itemize}
-       \item Chaque groupe me remet un rapport répondant aux consignes (5 à 10 pages)
-       \item Il y aura trois sessions de deux heures, pendant lesquelles chaque groupe présente, en 15 minutes, son travail
-         aux autres groupes présents pendant la session.
-     \end{itemize}
- \end{itemize}
-
-\end{frame}
-
-\section{Problèmes aux conditions initiales}
-\begin{frame}
-\frametitle{Exemples}
-\begin{exampleblock}{Décroissance radioactive}
-$\ddt{x} = -\lambda x$, \quad avec $x(t_0)=x_0$. \newline
-Posons $\hat{x}=x/x_0$ et $\hat{t}=(t-t_0)\lambda$, on a 
-\begin{equation}
-\dd{\hat{x}}{\hat{t}} = - \hat {x} \quad\text{avec}\quad \hat{x}(0)=1.
-\label{eq:rad}
-\end{equation}
-\end{exampleblock}
-\begin{exampleblock}{Equation logistique}
-\begin{equation}
-\ddt{y}= \lambda y ( 1-y)
-\end{equation}
-\end{exampleblock}
-\begin{exampleblock}{Oscillateur harmonique}
-\begin{equation}
-\ddt{p}=-\pd{H}{q} \, ; \, \ddt{q}=\pd{H}{p} \quad\text{avec\ } H=\frac{1}{2}(p^2+q^2)
-\end{equation}
-et $p(0)=p_0$ et $q(0)=q_0$
-\end{exampleblock}
-\end{frame}
-\begin{frame} \frametitle{4 étapes}
-De façon générale, le système s'écrit:
-\begin{equation}
-\ddt{\vec{x}} = \vec{F}(\vec{x}, t)
-\end{equation}
-\begin{enumerate}
-\item Définir les points de discrétisation dans le temps
-\item Exprimer le système sous la forme d'une différence finie
-\item Laisser tomber l'erreur de troncature
-\item Étudier les propriétés : stabilité, convergence, et autres (voir plus loin)
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-\begin{frame}\frametitle{1. Discrétisation dans le temps}
-\begin{tikzpicture}
- \draw[->](-1, 0) -- ( 7, 0);
- \foreach \i in {0,1,2,3,4,5,6} 
-{ \node  at (\i, 0) {$\bullet$};  } 
-\foreach \i in {0,1, 2} { \draw (\i, -0.5) node {$t_\i$}; } 
-\foreach \i in {6}{ \draw (\i, -0.3) node {$t_n$}; }
-\end{tikzpicture}
-
-Dans la suite de ce cours, nous allons poser : 
-\begin{itemize}
-\item $t_i$ :  le temps discrétisé \\
-\item $x(t_i)$ :  la solution exacte au temps $t_i$ \\
-\item $x_i$ :  la solution du système en diff. finies au temps $t_i$ \\
-\end{itemize}
-\begin{example}
-\begin{align*}
-t_0 &= t(0)  & 
-t_i &= t_0 + i\dt
-\end{align*}
-\end{example}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle {2. Exprimer le système sous forme de différence finie}
-Posons : $F_i := F(x_i, t_i)$. Le problème est d'établir une relation itérative entre $x_i$ et $x_{i+1}$ en utilisant uniquement de l'information disponible aux $t_i$. On 
-recourt au développement de Taylor. 
-\medskip
-On peut faire:
-\begin{align}
-x(t_{i+1}) &= x(t_i) + F_i k + k\cdot \tau , & \quad \tau &= \dddt {x} (x(t_i),t_i) {k \over 2} + \mathcal{O}(k^2) \label{eq:d1} 
-\end{align} ou bien:
-\begin{align}
-x(t_{i})   &= x(t_{i+1}) - F_{i+1} k + k\cdot\tau, &\quad \tau &= \dddt {x} (x(t_{i+1}),t_{i+1}) {k\over 2} + \mathcal{O}(k^2) \label{eq:d2}
-\end{align}
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{\ldots et laisser tomber les termes de troncature}
-
-On crée le système aux différences finies en laissant tomber les termes de troncature:
-
-\begin{definition}
-Le schéma est dit \textit{consistent} si l'itération converge vers l'expression
-du système originel à la limite $k\rightarrow 0$. 
-\end{definition}
-
-\begin{center}
-\colorbox{yellow!20}
-{ \parbox{\textwidth}
-{
-\begin{tabular}{llll} 
-\hline
-Euler avant     & (\ref{eq:d1}) & $x_{i+1} = x_i + F_i \dt$ &  $\tau = \mathcal{O}(k)$ \\ 
-Euler arrière   & (\ref{eq:d2}) & $x_{i+1} = x_i + F_{i+1} \dt$ & $\tau = \mathcal{O}(k)$ \\ 
-Euler centré   & (\eqref{eq:d1} + \eqref{eq:d2}) / 2 &  $x_{i+1} = x_i + F_{i+i/2} k$ & $\tau = \mathcal{O}(k^2)$  \\
-\hline
-\end{tabular}
-où $F_{i+i/2} := {1 \over 2} (F_{i}  + F_{i+1} ) $.
-}}
-\end{center}
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame} \frametitle{Example : décroissance radioactive}
-
-\begin{block}{Euler avant} 
-$x_{i+1} = x_{i} - \dt x_{i} = (1-k) x_{i} \Longrightarrow \color{red}{x_i = (1-\dt)^i}x_0$
-\end{block}
-
-\begin{block}{Euler arrière} 
-$x_{i+1} = x_{i} - \dt x_{i+1}$ : schéma implicite !
-
-$x_{i+1} = (1+\dt)^{-1} x_{i} \Longrightarrow \color{red}{ x_i = (1+\dt)^{-i}}x_0$
-\end{block}
-
-\begin{block}{Euler centré} 
-$x_{i+1} = x_{i} - {\dt \over 2}(x_{i}+x_{i+1})$ : schéma (semi-implicite)
-
-$x_{i+1} = \frac{1-k/2}{1+k/2} x_{i} \quad \Longrightarrow \quad \color{red}{x_i = \left(\frac{1-k/2}{1+k/2}\right)^i}x_0$
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{radio}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{error}
-\end{frame}
-
-\begin{frame} \frametitle{Etude des propriétés. I. Convergence}
-\begin{block}{Definition} {$\forall t>t_0\, : \, \lim_{k\rightarrow 0} x_i = x(t_i)$} \end{block}
-\begin{exampleblock}{Euler avant, radioactivité : (rappel: $x(t_i) = e^{-t}$)}
-\begin{align*}
-  \log x_{i} &= i \log(1-k) = i ( - k - k^2/2 + \mathcal{O}(k^3) ) = - t - tk/2 + \mathcal{O}(k^3),  \\
- \Rightarrow x_{i} &= e^{-t (1+k/2)} + \mathcal{O}(k^2).
-\end{align*}
-\end{exampleblock}
-\begin{exercice}
-Dans cet exemple, l'Euler avant sous-estime la quantité de produit radioactif. Montrer que l'Euler arrière le surestime, et que l'Euler centré est correct au premier ordre.
-\end{exercice}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Ordre de grandeur d'approximation du schéma numérique}
-\begin{block}{Règle générale}
-  Si, étant connu $x_i$, l'approximation sur $x_{i+1}$ est de l'ordre de k$\tau$, alors l'erreur sur la solution à un temps $t$ sera (si $t$ n'est pas trop grand) de l'ordre de $T\cdot\tau$. 
-\end{block}
-En effet: à chaque pas de temps on accumule une erreur de l'ordre de $k \tau $, et $T/k$ pas de temps sont nécessaires pour intégrer sur une période $T$. 
-\end{frame}
-
-\begin{frame} \frametitle{Étude des propriétés. II. stable}
-\begin{block}{Définition} Le système est dit \emph{A-stable} si les $x_i$ restent bornés dans le problème de décroissance radioactive. \end{block}
-\begin{exampleblock}{Euler avant, radioactivité : }
-stable si $|(1-\dt)|\leq1, \quad \Rightarrow \dt\leq2$. 
-Le schéma est dit  \emph{conditionnellement A-stable}.
-\end{exampleblock}
-\begin{exercice}
-Déterminer les conditions de stabilité de  l'Euler arrière et l'Euler centré.
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame} \frametitle{Etude des propriétés. III. monotone}
-\begin{block}{Definition} si $x(t_i) < x(t_j)$, alors $x_i < x_j$. \end{block}
-\begin{exampleblock}{Euler avant, radioactivité : }
-Monotone si $\dt<1$.
-Le schéma est dit  \emph{conditionnellement monotone}.
-\end{exampleblock}
-\begin{exercice}
-Déterminer la condition de monotonicité pour l'Euler-centré, et montrer que l'Euler arrière est inconditionnellement monotone. 
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame} \frametitle{Etude des propriétés. IV. Conserve l'énergie}
-S'illustre pour l'oscillateur harmonique. Soit $\vec{x}=(p, q)\T$, 
-le problème se formule comme $\ddt {\vec{x}} = M\vec{x}$ où 
-$M:=\left( \begin{array}{cc} 0 &-1\\1 &0 \end{array}  \right)$. 
-
-Le problème discrétisé s'écrit
-\begin{equation*}
-\vec{x}_{i+1} = M_d \vec{x}_i\quad \text{avec}
-\end{equation*}
-Euler avant : $M_d=(1+M\dt)$; Euler arrière : $M_d=(1-M\dt)^{-1}$ ; 
-Euler centré : $M_d=(1-Mk/2)^{-1}(1+M\dt/2)$.
-
-Sachant que le Hamiltonien est ici $\frac{1}{2}x\T x$, l'énergie
-augmente de $\vec{x}_i$ à $\vec{x}_{i+1}$ d'un facteur ${M_d}\T M_d$.
-Cette matrice doit donc être égale à la matrice identité dans un schéma conservatif. 
-
-\begin{exercice}
-Vérifier que le schéma Euler avant crée de l'énergie; que l'Euler arrière en détruit;
-et que seul l'Euler centré est conservatif. Illustrer ces propriétés en intégrant le système.
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{numerictip}
-L'opération $M^{-1} x$  (inverse d'une matrice $\times$ vecteur, ou inverse d'une matrice $\times$ matrice) s'effectue efficacement au moyen du package \texttt{LAPACK}, implémenté dans la plupart des langages interprêtés destinés au calcul scientifique:
-\medskip
-\begin{tabular}{ll}
-\hline
-matlab / octave : & \texttt{M  $\setminus$ x} \\
-R  : & \texttt{ solve(M, x) } \\
-numpy / scipy : & \texttt{ np.solve(M, x) }  \\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{numerictip}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{oscillateur_euler}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma leapfrog}
-\begin{block}{Idée}
-Mimer le schéma centré, mais selon un schéma explicite à deux pas de temps
-\begin{equation}
-x_{i+1} = x_{i-1} + 2\dt F(x_i)
-\end{equation}
-\end{block}
-
-nécessite d'initialiser $x_0$ et $x_1$.
-
-\begin{exercice}
-Démontrer que le schéma leapfrog est instable dans le problème de décroissance radioactive. 
-Indice : tenter une solution $x_i = \alpha^i$ et chercher les solutions pour $\alpha$. 
-Le schéma est instable si $|\alpha|>1$. 
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{radio_leapfrog}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma de Heun (RK2)}
-\begin{block}{Idée}
-Approximer $F_{i+1}$ par $\tilde{F}_{i+1} := F(x_i + k F(x_i), t_{i+1})$. Peut se réecrire comme:
-\begin{align*}
-\tilde{x}_{i+1} &= x_i + \dt F_i \\
-x_{i+1} &= x_i + {k \over 2}\left(F\left(x_i, t_i \right) + F\left(\tilde{x}_{i+1}, t_{i+1}\right)\right),
-\end{align*}
-qui fait apparaître la notion \emph{prédicteur - correcteur}.
-\end{block}
-%
-\begin{exercice}
-Développer $\tilde{F}_{i+1}$ en série autour de $F(x_i)$ et montrer que la méthode de Heun est
-convergente à l'ordre 2 en k.
-\end{exercice}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)}
-\begin{align*}
-k_1 &= k\cdot F_i \\
-k_2 &= k\cdot F(x_i + k_1/2, t_i + k/2) \\
-k_3 &= k\cdot F(x_i + k_2/2, t_i + k/2) \\
-k_4 &= k\cdot F(x_i + k_3, t_i + k) \\
-x_{i+1} &= x_i + {1\over 6}\left( k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4 \right)
-\end{align*}
-\begin{block}{propriétés}
-\begin{itemize}
-\item Explicite
-\item Conditionnellement stable
-\item Troncation d'ordre 5; solution convergente à l'ordre 4.
-\end{itemize}
-\end{block}
-\end{frame}
-%
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{error_withRK4}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{exercice}
-L'équation logistique :
-\begin{equation}
-\ddt {x} = \lambda x ( 1-x)\, \quad x{0}=\alpha 
-\end{equation}
-a pour solution exacte:
-\begin{equation}
-x(t) = \frac{\alpha}{\alpha +   (1 - \alpha ) e^{-\lambda t }}.
-\end{equation}
-Comparer les erreurs des schémas explicites Euler avant, Heun et RK4 pour différents pas de temps comme sur la figure précédente. 
-
-Le schéma Euler arrière peut s'établir analytiquement pour l'équation logistique, mais cela implique de résoudre, à chaque pas de temps, une équation du second degré,\ldots qui a donc deux solutions. Laquelle des deux solutions retenir?
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Erreurs d'arrondi (erreur machine)}
-\begin{numerictip}  
-Dans l'opération $a+b$, $|log_2(a)-log_2(b)|$  doit être plus grand que $m$, où
-$m$ est le nombre de bits réservés pour la mantisse:
-\begin{center}
-\begin{tabular}{l|l|l}
-type & m & $ log_{10} (2^m)$\\
-\hline
-float16 & 10 &  $3.0 $\\
-float32 & 23 & $6.9 $\\
-float64 & 52 & $15.6$\\
-float128& 64 & $19.2$\\
-float256 & 112 & $33.7$ \\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-\end{numerictip}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{rounding_error}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame} \frametitle{Schémas symplectiques}
-Reprenons l'oscillateur harmonique, et considérons :
-\begin{exampleblock}{Le schéma Verlet}
-\begin{align*}
-\tilde{p}_{i+1} &= p_i - \dt  q_i \\
-q_{i+1} &= q_i + {\dt\over 2} (p_i + \tilde{p}_{i+1} ) \\
-p_{i+1} &= p_i - {\dt\over 2} (q_i + q_{i+1} ) 
-\end{align*}
-\end{exampleblock}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{oscillateur_energy1}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{oscillateur_energy2}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Méthode symplectique = respecte la géométrie du problème}
-\begin{columns}
-\column{0.45\textwidth}
-\begin{tikzpicture}
- \draw [-open triangle 60] (-0.5, 0) -- (3, 0) node [below] {$q$}; 
- \draw [-open triangle 60] ( 0, -0.5) -- (0, 3) node [left] {$p$}; 
-
- \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) node [below] {$x^a_{i}$} -- (1.3, 2.7) node [left] {$x^b_{i}$}; 
- \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) -- (2.5, 0.9) node [right] {$x^c_{i}$}; 
- \draw [dashed] ( 2.5, 0.9) -- (3.3, 2.9) -- (1.3, 2.7) ; 
-\end{tikzpicture}
-
-\column{0.45\textwidth}
-\begin{tikzpicture}
- \draw [-open triangle 60] (-0.5, 0) -- (3, 0) node [below] {$q$}; 
- \draw [-open triangle 60] ( 0, -0.5) -- (0, 3) node [left] {$p$}; 
-
- \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) node [below] {$x^{a}_{i+1}$} -- (1.3, 2.2) node [left] {$x^{b}_{i+1}$}; 
- \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) -- (3.0, 0.9) node [right] {$x^{c}_{i+1}$}; 
- \draw [dashed] ( 3.0, 0.9) -- (3.8, 2.4) -- (1.3, 2.2) ; 
-\end{tikzpicture}
-\end{columns}
-Le schéma symplectique conserve l'aire des parallélogrammes (dans une métrique donnée)
-\begin{theorem}
-Soit $p_{i+1}=f(p_i, q_i)$ et $q_{i+1}=g(p_i, q_i)$. Alors le schéma est symplectique ssi
-$\left| \begin{array}{cc}f_p & f_q \\ g_p & g_q \end{array}\right|=1, \ \forall{p, q}.$
-\end{theorem}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\begin{exercice}
-Montrer que la méthode de Heun n'est pas symplectique pour l'oscillateur Harmonique; mais que la méthode de Verlet l'est bien.
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\section{Problèmes aux conditions frontières}
-\begin{frame}
-\begin{exampleblock}{Tension sur un fil}
-\begin{equation} \ddd{y}{x} = f(x), \text{pour} \quad  0<x<\ell \quad \text{avec}\, y(0)=y(\ell)=0.  \end{equation}
-\end{exampleblock}
-
-\begin{exampleblock}{Équation de Bratu (cinématique chimique)}
-\begin{equation} \ddd{y}{x} = - e^y, \text{pour} \quad 0<x<\ell \quad \text{avec}\, y(0)=y(\ell)=0.  \end{equation}
-\end{exampleblock}
-
-\end{frame}
-\begin{frame} \frametitle{Méthode des différences finies}
-\begin{enumerate}
-\item Définir les points de discrétisation $x_0, x_1, \ldots, x_{N+1}$.
-\item Évaluer l'équation différentielle en ces points
-\item Exprimer la dérivée sous la forme d'une différence finie
-\item Laisser tomber les termes de troncature.
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Corde sous tension : résolution par différence finie}
-\begin{enumerate}
-\item On choisit:  $$x_i = ih, \quad i=0,1, \ldots , N+1.$$
-\item On a donc: $$\ddd{y}{x}(x_i) = f(x_i) =: f_i$$
-\item On exprime : $$\ddd{y}{x}(x_i) = \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} + \mathcal{O}(h^2),$$
-\item Ce qui donne : $$y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}  = h^2 f_i.$$
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-Le système s'écrit donc dans ce cas comme une équation linéaire, à matrice tri-diagonale:
-\begin{equation}
-\left( 
-\begin{array}{rrrrr}
- -2 &  1 &    &     \\
-  1 & -2 &  1 &     \\
-    &\ddots& \ddots   & \ddots    \\
-    &  1 &-2  &  1 \\
-    &    & 1  & -2 \\
-\end{array}
-\right)
-\left( 
-\begin{array}{c}
- y_1 \\ y_2  \\  \vdots  \\ y_{N-1} \\ y_{N}
-\end{array}
-\right) = 
-h^2
-\left(
-\begin{array}{c}
-f_1 \\  f_2  \\   \vdots  \\ f_{N-1} \\  f_{N} 
-\end{array}
-\right )
-\end{equation}
-\end{frame}
-\begin{frame}\frametitle{Matrices tri-diagonales}
-\begin{numerictip}
-\begin{tabular}{cc}
-\parbox{0.45\textwidth} 
-{
-Les équations à matrices tri-diagonales, de la forme $\vec{Ay}=\vec{z}$, où
-$\vec{A}=
-\left( 
-\begin{array}{lllll}
- a_1& c_1 &    &     \\
- b_2 & a_2 & c_2 &     \\
-    &\ddots& \ddots   & \ddots    \\
-    & b_{N-1} & a_{N-1}  &  c_{N-1} \\
-    &    &b_N &  a_{N} \\
-\end{array}
-\right)$, se résolvent selon un algorithme simple, dérivé de la factorisation LU:
-}
-& 
-\colorbox{yellow!10}{\parbox{0.45\textwidth}{
-\begin{algorithmic}[1]
-\State $w \gets  a_1$; $y_1 \gets z_1 / w $
-\For {$i=2 \to N$}
-\State $v_i \gets {c_{i-1} / w}$
-\State $w \gets a_i - b_i v_i$
-\State $y_i \gets {(z_i - b_i y_{i-1}) / {w}}$
-\EndFor
-\For {$j=N-1, N-2, \ldots , 1$}
-\State $y_j \gets y_j - v_{j+1} y_{j+1}$
-\EndFor
-\end{algorithmic}
-}
-}
-\end{tabular}
-\bigskip
-
-Bien sûr, \texttt{LAPACK} fait ceci pour vous.
-\end{numerictip}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Solution unique du système en diff. finie?}
-Soit les sommes partielles $r_i$, définies comme la somme des éléments non-diagonaux sur la ligne $i$, i. e. 
-$$ 
-r_i = \left\{ \begin{array}{ll} 
-   |b_i| + |c_i| \quad & \text{si} i \neq 1,N, \\
-   |c_1|  & \text{si} i = 1, \\
-   |b_N|  & \text{si} i = N, \end{array}\right.
-$$
-\begin{definition} 
-Une matrice est dite tridiagonalement dominante si $|a_i| \geq r_i\, \forall i$, et strictement dominante si l'inégalité est stricte.
-\end{definition}
-\begin{theorem}
-Une matrice admet une inverse réelle unique \emph{et} l'algorithme LU fournit la solution soit si, 
-\begin{enumerate}
-\item elle est strictement diagonalement dominante
-\item elle est diagonalement dominante, avec $c_i\neq 0\, \forall i$, et $|b_N|<|a_N|$.
-\end{enumerate}
-\end{theorem}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Solution unique? (suite)}
-On voit donc que pour le probl\`eme de la corde sous tension, la solution sera toujours unique, quelle que soit la r\'esolution spatiale. 
-
-L'\'equation plus g\'en\'erale:
-\begin{equation}
-\ddd{y}{x} + p(x) \dd{y}{x} + q(x)y = f(x)
-\label{eq:gen}
-\end{equation}
-admet pour résolution en différence finie:
-\begin{eqnarray*}
-&a_i = - 2 + h^2q(x_i) ; \quad b_i=1-\frac{h}{2}p(x_i);\quad c_i=1+\frac{h}{2}p(x_i)
-\end{eqnarray*}
-On peut montrer (Holmes, p. 52) que  \label{solunique}
-\begin{theorem}
-si $p(x)$, $q(x)$ et $f(x)$ sont continues, et que $q(x)\leq0$, alors la solution est unique si $hp_\infty < 2$, o\`u $p_\infty :=\max |p(x)|$.
-\end{theorem}
-\end{frame}
-\begin{frame}\frametitle{Matrice bien conditionnée?}
-\begin{definition}
- La condition Euclidienne d'une matrice, noté $\mathop{cond}_2$ est le rapport en valeur absolue entre sa plus grande et sa plus petite valeur propre.\footnote{Selon Holmes, voir cependant LMAT1151 pour une définition plus rigoureuse}
-\end{definition}
-
-\begin{numerictip}
- La résolution numérique de l'inverse d'une matrice n'est fiable que si l'inverse de sa condition est grand par rapport à l'erreur d'arrondi. 
-\end{numerictip}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-La matrice
-$\vec{A}=
-\left( 
-\begin{array}{ccccc}
- a& c &    &     \\
- b & a & c &     \\
-    &\ddots& \ddots &    \\
-    & b & a  &  c \\
-    &    &b &  a \\
-\end{array}
-\right)$, admet pour valeurs propres
-
-\begin{equation}
-\lambda_i = a + 2 \sqrt{bc} \cos \left( \frac{i\pi}{N+1} \right).
-\end{equation}
-
-On peut vérifier que pour le problème général \eqref{eq:gen} mais avec $p(x)\equiv p$, $q(x)\equiv q$, et en développant les termes en $\cos$ selon Taylor, que
-\begin{equation*}
-\mathop{cond}_2(\vec{A}) = \frac{16N^2}{4\pi^2 + \left( p^2 - 4q \right)\ell^2} + \mathcal{O}(N).
-\end{equation*}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{example}
-\includegraphics{bvp_prob1}
-\end{example}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Analyse d'erreur}
-L'erreur totale peut se décomposer en $|(y(x_i) - y_i) + (y_i - \bar{y}_i)|$, où
-\begin{tabular}{ll}
-\quad & $y_i$ est la solution du système en différence finie \\
-\quad & $\bar{y}_i$ est la solution calculée par ordinateur (numérique)
-\end{tabular}
-
-\begin{theorem}
-Si les fonction $p$, $q$, $f$ sont continues, et $q(x) < -\gamma < 0$, alors
-\begin{equation*}
-|(y(x_i) - y_i)| \leq C \left[\tau_\infty + \mathop{max}\left\{ |E_0|, |E_{N+1}| \right\} \right],
-\end{equation*}
-où $\tau_\infty$ est la plus grande erreur de troncature du schéma, $C=\mathop{max}\left\{ 1,1/\gamma \right\}$, et $E_0$ et $E_{N+1}$ sont les approximations éventuelles des conditions frontières.
-\end{theorem}
-
-Le terme $|(y_i - \bar{y}_i)| $ devient potentiellement important lorsque la matrice est mal conditionnée. 
-
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{example}
-\includegraphics{bvp_error.pdf}
-\end{example}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{exercice}
-Le système suivant illustre la notion de couche limite: 
-\begin{equation}
-\epsilon \ddd{y}{x} - x^2 \dd{y}{x} - y = 0, \quad 0 < x < 1, \epsilon=10^{-2},
-\end{equation}
-avec les conditions frontières : $y(0)=y(1)=1$. 
-Calculez en les solutions en différence finie pour $N=10, 20, 50, 120$. 
-Comparez avec le critère garantissant la solution unique (p. \pageref{solunique}).
-Qu'en déduisez-vous? A partir de quelle valeur de $N$ peut-on penser que les erreurs d'arrondi 
-vont commencer à dominer? Sur base de ces considérations, quel intérêt tirerait-on d'une grille non régulière dans un cas comme celui-ci?
-\end{exercice}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\includegraphics{bvp_prob2.pdf}
-\end{frame}
+\include{introduction}
+\include{cond_initiales}
 
-\begin{frame}
-\frametitle{Conditions sur les dérivées}
-Les conditions frontières peuvent s'imposer sur les dérivées $\dd{y}{x}(0, \ell)$, où même une combinaison des dérivées et des valeurs aux frontières.
-\begin{example}
-La condition $a\, y(0) + b \, \dd{y}{x}(0) = \alpha$ peut elle même s'exprimer sous la forme d'une différence finie. Pour bien faire, il nous faut une approximation d'ordre 2. L'approximation suivante en est une:
-\begin{equation*}
-a\, y_0 + \frac{b}{2h}(-y_2 + 4 y_1 - 3 y_0) = \alpha
-\end{equation*}
-qui peut se réexprimer sous la forme:
-\begin{equation*}
-y_0 = \frac{b}{2ah - 3b}(y_2 - 4 y_1) + \frac{2 \alpha h}{2 a h - 3b}
-\end{equation*}
-
-On peut alors utiliser cette valeur de $y_0$ lorsqu'on développe la matrice $\vec{A}$.
-\end{example}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-  \begin{exercice}
-    Considérons le problème général
-    \begin{equation*}
-      y^{\prime\prime} + p(x) y^\prime + q(x) y = f(x)\, \text{pour }0<x<\ell
-    \end{equation*}
-    Développez de schémas en diff. finies corrects à l'ordre 2 pour les conditions
-    (deux exercices distincts)
-    \begin{enumerate}
-      \item $y(0)=\alpha \quad\text{et}\quad y(\ell)+\gamma y^\prime(\ell) = \beta $ \\
-      \item $y(0)=y(\ell)$ \quad\text{et}\quad $y^\prime(0)=y^\prime(\ell)$ 
-    \end{enumerate}
-  \end{exercice}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Systèmes non linéaires}
-De façon tout à fait générale, l'approximation en différence finie d'un système non-linéaire va pouvoir s'exprimer sous la forme
-\begin{equation}
-\vec{F}(\vec{y}) = \vec{0}
-\label{}
-\end{equation}
-
-Que l'on peut résoudre selon la méthode de Newton. Soit:  \\
-\begin{tabular}{ll}
-\quad & $\vec{z_0}$ une estimation de ce que la solution peut être \\
-\quad & $\vec{J}$ le Jacobien de $F$.
-\end{tabular}
-
-Le schéma suivant doit converger vers la solution si le système est suffisamment régulier:
-\begin{equation*}
-\vec{z}_{k+1} = \vec{z}_k - {J_k}^{-1} F_k, \quad k=0, 1, 2, \ldots
-\end{equation*}
-\begin{exercice}
-Résoudre l'équation de Bratu $y^{\prime \prime}=-e^{y}$, $0<x<1$, avec $y(0)=y(1)=0$. 
-Utiliser comme premier essai $z_0=x-x^2$; recommencez et utilisez $z_0=16 (x-x^2)$. Qu'en déduisez-vous?
-\end{exercice}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\includegraphics{bratu}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Autres méthodes}
-\begin{block}{Méthodes des résidus}  Exprimer $y(x)$ dans un base de fonctions ($y(x)=\sum a_i \phi_i(x)$) et ajuster les coefficients (collocation ou moindre carrés : voir cours Prof. B. Piraux)
-\end{block}
-\begin{block}{Shooting methods}
-Reformuler le problème de façon similaire à un problème aux conditions initiales, i.e. : $\dd{x}{\vec{y}}=F(x, {y})$ où $\vec{y}=(y, y^\prime)\T$ et où seul $\vec{y}(0)$ est spécifié, et ajuster itérativement la condition sur $\vec{y}(0)$ de façon à remplir  les conditions frontières en $x=0$ et $x=\ell$.
-\end{block}
-\end{frame}
-\section{Equation de diffusion}
-\begin{frame}
-\frametitle{Définition}
-La forme générale de l'\'equation de diffusion s'écrit:
-\begin{equation}
-a(x, t) \pdxx{u} + b(x, t) \pdx{u} + c(x, t) u = \pdt u + f(x, t), \quad
-\text{pour } \left\{ \begin{array}{l} 0 < x < \ell, \\ 0 < t. \end{array} \right..
-\label{eq:chaleur}
-\end{equation}
-Nécessite des conditions initiales \emph{et} des conditions aux frontières. 
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\begin{example}
-L'équation de la chaleur (adimensionnelle) se réduit à $a(x, t) = 1$; $b=c=f=0$. \\
-Si on admet, pour conditions ($\ell = 1$):
-$$u(0, t)= u(1, t)=0 \quad \text{ pour }\ t>0\text{, et} $$
-$$u(x, 0) = g(x), \quad \text{pour } 0 \leq x \leq 1, $$
-alors le système admet pour solution \footnote{truc: écrire $u=A(x)C(t)$}:
-\begin{equation}
-u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\lambda_n^2 t} \sin (\lambda_n x),
-\label{}
-\end{equation}
-où $\lambda_n=n\pi$ et $A_n = 2 \int_0^{1} g(x) \sin (\lambda x)\, \d x$
-\end{example}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\begin{exercice}
-\label{eqchal}
-Déterminer les solutions analytiques de l'équation de la chaleur adimensionnelle définie page prédente, pour
-\begin{enumerate}
-\item $g(x) = \sin(2\pi x)$, 
-\item $g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1\quad & \text{si \ } a \leq x \leq b, \\ 0 & sinon. \end{array} \right.$
-\end{enumerate}
-\end{exercice}
-\begin{block}{Propriétés de l'équation de la chaleur}
-\begin{itemize}
-\item La solution est continuement dérivable à l'intérieur des frontières
-\item Les minima et maxima se trouvent aux frontières, soit latérales, soit en $t=0$.
-\item L'information se propage instantanément (illustration: cas 2. de l'exercice ci-dessus)
-\end{itemize}
-\end{block}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Résolution en 4 étapes}
-\begin{enumerate}
-\item Définir les points de discrétisation
-\item Estimer le système en ces points
-\item Le formuler en différences finies
-\item Éliminer les termes de troncature
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{1. Discrétisation}
-\begin{tikzpicture}[xscale=1.3]
-\draw [->] (-0.2, 0) -- (4.8, 0) node [yshift=-1em] {$x$} ; 
-\draw [->] (0, -0.2) -- (0, 4.8) node [xshift=-1.5em] {$t$} ;
-\foreach \i in {1, 2, 3}
- { 
- \draw (\i, 0) node [yshift=-1em] {$x_\i$} -- (\i, 4) ; 
- \draw (0, \i) node [xshift=-1.5em] {$t_\i$} -- (4, \i) ; 
- \foreach \j in {1, 2, 3, 4}
-  { \node at (\i, \j)  [shape=circle, draw, color=black] {} ; }
-  }
-  \draw ( 4, 0) node [yshift=-1em] {$\ell$} -- ( 4, 4) ; 
-  \draw ( 0, 4) node [xshift= -1.5em] {$t_4$} -- ( 4, 4) ; 
-
-  \foreach \j in {0,1, 2, 3,4}
-  { \node at (\j, 0 )  [shape=circle, draw, color=black, fill=black!30] {} ; 
-    \node at (0 , \j)  [shape=circle, draw, color=black, fill=black!30] {} ; 
-    \node at (4 , \j)  [shape=circle, draw, color=black, fill=black!30] {} ; }
-
-\end{tikzpicture}
-
-Pour un grille régulière, on aura $t_j = j \dt$ et $x_i = i h $. 
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{2. : exprimer le système aux points de grille}
-Nous reprenons l'équation de la chaleur, cette fois non-homogène :
-\begin{equation*}
-\pdxx{u} = \pdt{u} + f(x, t),
-\end{equation*}
-avec $u(0, t) = u(1, t) = 0$; $u(x, 0) = g(x)$, et nous adoptons pour notation: \\
-$u_t := \pdt{u}$, $u_x := \pdx{u}$, $u_{xx} := \pdxx{u}$ etc. 
-
-\bigskip
-
-Le système discrétisé est donc : 
-\begin{equation}
-u_{xx} (x_i, t_j) = u_t (x_i, t_j) + f (x_i, t_j)
-\label{}
-\end{equation}
-
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{3. Exprimer le système sous forme de différence finie}
-On choisit un schéma centré dans l'espace:
-\begin{align*}
-u_{xx}(x_i, t_j) &= \frac{u(x_{i+1}, t_j) - 2u (x_i, t_j) + u(x_{i-1}, t_j)}{h^2} + \mathcal{O}(h^2)
-\end{align*}
-et Euler avant dans le temps:
-\begin{align*}
-u_t(x_i, t_{j}) &= \frac{u(x_i, t_{j+1}) - u (x_i, t_{j})}{k} + \mathcal{O}(k)
-\end{align*}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{4. \ldots et on laisse tomber les termes de troncature.}
-Posons $\lambda = k / h^2$, on a:
-\begin{equation}
-u_{i, j+1} = \lambda u_{i+1, j} + (1-2\lambda) u_{i,j} + \lambda u_{i-1, j} - k f_{i,j},
-\label{}
-\end{equation}
-ce qui peut s'écrire sous la forme 
-\begin{align*}
-\vec{u}_0 &= \vec{g}  \\
-\vec{u}_{j+1} &=  (1-\vec{H})\vec{u}_{j} - k \vec{f}_j, \quad \text{pour\ }j = 1\ldots M-1\\
-\end{align*}
-\begin{columns}
-\column{0.35\textwidth}
-où : 
-\begin{align*}
- \vec{u}_j &= (u_{1, j}, u_{2, j}, \ldots , u_{N, j} ) \\
- \vec{f}_j &= (f_{1, j}, f_{2, j}, \ldots , f_{N, j} )  \\
- \vec{g} &= (g_{1}, g_{2}, \ldots , g_{N} )  \\
-\end{align*}
-\column{0.55\textwidth}
-et $\vec{H}=\left( 
-\begin{array}[h]{cccc}
-  2\lambda &  -\lambda  &          &           \\
-
--\lambda    &  2\lambda & -\lambda  &           \\
-
-           &\ddots     & \ddots    & \ddots    \\
-
-           &           &-\lambda    &  2\lambda   \\
-
-\end{array}
-\right)$
-\end{columns}
-\end{frame}
-\def\stencil{
- \draw [-] (-1.8, 0) node [left] {$t_j$} -- (1.8, 0); 
- \draw [-] (-1.8, 1) node [left] {$t_{j+1}$} -- (1.8, 1); 
- \draw [-] (-1, -0.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i-1}$} -- (-1, 1.5 ); 
- \draw [-] (0, -0.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i}$} -- (0, 1.5 ); 
- \draw [-] (1, -0.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i+1}$} -- (1, 1.5 ); 
- \node at (0,1)  [shape=circle, draw, color=black] { } ; 
- }
-
-
-\begin{frame}
-Le \emph{stencil} représente les points dont dépend le calcul du $u_{j+1, i}$:
-\begin{tikzpicture} 
- \stencil
- \foreach \i in {-1, 0, 1} {\node at (\i,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; } 
-\end{tikzpicture}
-
-Le système qui nous occupe est donc \emph{explicite.}
-Ce schéma Euler avant de l'équation de la chaleur admet une solution analytique  si $\vec{f}=0$:
-
-\framebox[\textwidth]
-{
-si $\vec{u}_0=w_0 e^{rx\dot\imath}$, alors
-$\vec{u}_n=(1-q)^n \vec{u}_0$, où $q=4\lambda \sin^2\left( \frac{rh}{2} \right)$.
-}
-
-($\icmplx:= \sqrt{-1}$)
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-
-\renewcommand\arraystretch{2.4} 
-\begin{tabular}{l|l|l}
-%\setlength\minrowclearance{2.4pt}
-\textbf{schéma} & \textbf{Itération} & \textbf{Solution analytique$^\star$ }\\
-\hline
-E. avant & $\vec{u}_{j+1} =  (1-\vec{H})\vec{u}_{j}  $ & $\vec{u}_n=(1-q)^n \vec{u}_0$  \\
-\hline
-E. arrière & $(1+\vec{H})\vec{u}_{j+1} =  \vec{u}_{j} $ & $\vec{u}_n=(1+q)^{-n} \vec{u}_0 $  \\
-\hline
-CN & $(1+\vec{H}/2)\vec{u}_{j+1} =  (1-\vec{H}/2)\vec{u}_{j} $ & $\vec{u}_n=\left(\frac{1-q/2}{1+q/2}\right)^n \vec{u}_0$  \\
-\end{tabular}
-\renewcommand\arraystretch{1.2} 
-\bigskip
-\begin{tabular}{ll}
-E. avant : & Euler avant \\
-E. arrière : & Euler arrière \\
-CN : & Crank - Nicholson 
-\end{tabular}
-
-$\star: $ solution pour $\vec{u}_0 = w_0 e^{rx\icmplx}$ 
-
-\begin{exercice}
-Lesquelles de ces méthodes préservent la propriété de propagation instantanée ?
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Stabilités A et L}
-Définissons $k(q)$ tel que $\vec{u}_{i+1} = k \vec{u}_{i} $, $\vec{u}_{0}=w_0 e^{\icmplx rx}$:
-\begin{definition}
-Une méthode est dite \emph{L-stable} si $\lim_{q\rightarrow \infty} k(q) = 0$
-\end{definition}
-\begin{exercice}
-Discutez les stabilités A (i.e.: solution bornée) et L des trois méthodes ci-dessus. Illustrez votre réponse en codant l'équation de la chaleur et en la résolvant et montrant la solution à $t=0.1$, $N=12$, $\lambda=0.5, 1.5, 2.5$ et pour la fonction $g$ telle que définie dans l'exercice \ref{eqchal} cas 2, avec $a=\frac{1}{4}$ et $b=\frac{3}{4}$. 
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-%\begin{frame}
-%\includegraphics{heat_0.pdf}
-%\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{heat_1.pdf}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{heat_xl_1.pdf}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{heat_xl_2.pdf}
-\end{frame}
-
-%\begin{frame}
-%\includegraphics{heat_3d.pdf}
-%\end{frame}
- 
-
-\begin{frame}
-\begin{exercice}
-  Considérez l'équation $u_t = D u_{xx} - bu$, où $D$,$b$ sont des constantes positives, $u(0,t)=u(1,t)=0$ et $u(x,0)=g(x)$.
-\begin{enumerate}
-  \item Montrez que la solution exacte est $u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-(b+D\lambda_n^2)t} \sin(\lambda_n x)$, où $\lambda_n=n\pi$ et $A_n$ sont les coefficients de Fourier $A_n=2\int_0^1 g(x)\sin(\lambda_n x)\,\mathrm{d} x$. 
-  \item Cherchez un schéma \emph{implicite} en différence finie d'erreur $\mathcal{O}(h^2)+\mathcal{O}(k)$. Exprimez le résultat sous forme matricielle. Quel est l'intérêt d'un schéma implicite dans ce contexte\ ?
-  \item Déterminez la condition de stabilité.
-  \item Dans le cas où $g(x)=\sin(\pi x)$, $D=0,1$ et $b=1$, imposez $\lambda=0,4$ et tracez l'erreur maximale au temps $t=1$ en fonction du nombre de pas de temps $M=4,16,64,256,1024$ (en log-log). Superposez ensuite à ce graphe les résultats obtenus pour $\lambda=0,04$.  Qu'observez-vous ? 
-\end{enumerate}
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-
-\section{Équation d'advection}
-\begin{frame}
-De façon générale l'équation d'advection s'écrit
-\begin{equation}
-\pdt{u} + a \pdx {u} = 0,\quad \text{pour}\ \left\{ \begin{array}{ll} -\infty < x < \infty, \\ 0 < t, \end{array} \right.
-\end{equation}
-avec la condition frontière $u(x,0)=g(x)$.
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Résolution analytique}
-Définissons $(r,s)$ tels que : $x = ar+s$ et $t = r$. Alors:
-\begin{equation}
-\pd{u }{r} = \pd{u}{t} \pd{t}{r} + \pd{u}{x} \pd{x}{r} =  \pdt{u} + a \pdx {u} = 0.
-\label{}
-\end{equation}
-\begin{tabular}{ll}
-Donc: $u(x(r,s), t(r,s))$&$=u(ar+s, r)$ est invariant $\forall r=t$, \\ & $= u(s, 0) = g(x-at)$.
-\end{tabular}
-\end{frame}
-\newcommand{\setcol}[1] { 
- \ifnum#1=0 %
- \def\fcol{red} \fi
- \ifnum #1=1 \def\fcol{blue} \fi
- \ifnum #1=2 \def\fcol{black} \fi
- }
-
-\begin{frame}
-\begin{example}
-$a=1$ et $g(x)=e^{-x^2}$
-
-\bigskip
-
-\begin{tikzpicture}
-\draw [->] (-5,0) -- (3,0) node [below] {$x$};
-\foreach \i in {0,1,2}
-{ \setcol{\i} \draw [color=\fcol] plot[id=f\i,domain=-5+\i:-1+\i] function {exp(-(x+3-\i)*(x+3-\i))} node [xshift=-4em, yshift=4em] {$t=\i$}; }
-\foreach \i in {-1,...,5} { \draw (\i-3, 0) -- (\i-3, -0.1) node [below] {\small{$\i$}}; } 
-\end{tikzpicture} 
-\end{example}
-\begin{block}{propriétés}
-\begin{itemize}
-\item Information se propage sans déformation à vitesse $a$
-\item La solution en $(x,t)$ est entièrement déterminée par l'information en $\bar{x}=x-at$.
-\end{itemize}
-\end{block}
-\end{frame} 
-
-\begin{frame}
-\begin{tikzpicture}
-\draw [->] (-1,0) -- (4,0) node [below] {$x$};
-\draw [->] (0,-1) -- (0,3.2) node [left] {$t$};
-\node at (4,2) {$\bullet$};
-\draw [color=black!50] (1,0) node [below] {$(x-at,0)$} -- (2.5, 1) node [right] {$\longleftarrow$ \parbox{4em}{\small {domaine de dépendence}}} -- (4,2) node [right] {$(x,t)$};
-\end{tikzpicture}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma upwind}
-On part de l'équation en différence finie:
-\begin{align*}
-\frac{u(x_i, t_{j+1}) - u(x_i, t_{j}) }{k} + a \frac{u(x_i, t_{j}) - u(x_{i-1}, t_{j}) }{h} + \tau_{ij} &= 0,  \\
-\tau_{ij} &= \mathcal{O}(h) +  \mathcal{O}(k).
-\end{align*}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma downwind}
-On part de l'équation en différence finie:
-\begin{align*}
-\frac{u(x_i, t_{j+1}) - u(x_i, t_{j}) }{k} + a \frac{u(x_{i+1}, t_{j}) - u(x_{i}, t_{j}) }{h} + \tau_{ij} &= 0,  \\
-\tau_{ij} &= \mathcal{O}(h) +  \mathcal{O}(k).
-\end{align*}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{tabular}{l|l}
-upwind  & downwind \\ \hline \\
-\begin{tikzpicture}
-\stencil
- \node at ( -1 , 0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 0,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 0,1)  [shape=circle, draw] { } ; 
-\end{tikzpicture}  
-&
-\begin{tikzpicture}
-\stencil
- \node at (1 ,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 0,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 0,1)  [shape=circle, draw] { } ; 
-\end{tikzpicture} 
-\\
-\parbox{0.4\textwidth}{
-\begin{align*}
-u_{i,j+1} &= (1-\lambda) u_{ij} + \lambda u_{i-1,j}, \\
-\lambda   &= ak / h
-\end{align*}
-}
-& 
-\parbox{0.4\textwidth}{
-\begin{align*}
-u_{i,j+1} &= (1+\lambda) u_{i,j} - \lambda u_{i+1,j}, \\
-\lambda   &= ak / h
-\end{align*} 
-}
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{frame}
-
-\newcounter{Jj}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Exemple: Signal carré pour condition initiale}
-\includegraphics{upwind}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Exemple: Signal carré pour condition initiale}
-\includegraphics{downwind}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{block}
-{Critère de Friedrich-Courant-Lévy (CFL)} Le domaine de dépendence numérique du schéma doit contenir le domaine de dépendance du problème initial.
-
-\emph{Nota:} Condition nécessaire de stabilité; pas suffisante.
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Upwind : domaine de dépendence}
-\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
- \draw[->] (-8,0) -- (-8,8);
- \draw[->] (-8,0) -- (9,0);
- \draw (-8,0) grid [xstep=1,ystep=1] (8,7);
- \foreach \i in {0,...,6} { 
-  \setcounter{Jj}{6}
-  \addtocounter{Jj}{-\i}
-  \foreach \j in {0,...,\value{Jj}} { 
-  \node at (-\i, \j) {$\bullet$};}}
- \node at (0,0) [below]  {$x_i$};
- \node at (-6,0) [below]  {$x_{i}-jh$};
- \node at (-8,6) [left] {$t_j$};
-\end{tikzpicture}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Downwind : domaine de dépendence}
-\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
- \draw[->] (-8,0) -- (-8,8);
- \draw[->] (-8,0) -- (9,0);
- \draw (-8,0) grid [xstep=1,ystep=1] (8,7);
- \foreach \i in {0,...,6} { 
-  \setcounter{Jj}{6}
-  \addtocounter{Jj}{-\i}
-  \foreach \j in {0,...,\value{Jj}} { 
-  \node at (\i, \j) {$\bullet$};}}
- \node at (0,0) [below]  {$x_i$};
- \node at (6,0) [below]  {$x_{i}+jh$};
- \node at (-8,6) [left] {$t_j$};
-\end{tikzpicture}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Domaine de stabilité}
-Comme à l'ordinaire, nous pouvons tenter une solution de la forme:
-\begin{equation*}
-u_{ij}=w_j e^{ \icmplx rx_i},\quad \icmplx=\sqrt{-1} 
-\label{}
-\end{equation*}
-ce qui, introduit dans la méthode \textit{upwind}, nous donne, 
-\begin{equation}
-w_j = \kappa^j w_0\quad \text{avec }\kappa=1-\lambda(1-e^{-\icmplx rh})
-\label{}
-\end{equation}
-
-
-La condition de stabilité se ramène donc à (après calcul et en utilisant $1-\cos(rh) = 2\sin^2(rh/2)$):
-\[ \boxed{|\kappa|^2 =  [ 1 -  4\lambda(1-\lambda)\sin^2(rh/2) ] \leq 1 } \]
-
-Ceci revient à $\lambda(1-\lambda) \sin^2(rh/2) \geq 0$ et,
-ce qui  revient à $ \lambda \leq 1$ (condition CFL).
-\end{frame}
-\begin{frame}
-
-\begin{columns}
-\column{0.45\textwidth}
-\begin{tikzpicture} [scale=2.0]
-\tikzstyle{every node}=[font=\small]
- \pgfsetfillopacity{0.2}
- \filldraw [color=blue] (0.4,0.) circle (0.6) ;
- \filldraw [color=red] (0,0) circle (1) ;
- \pgfsetfillopacity{1.0};
-% \node at (0.,-0.5) {stable};
-% \node at (0.,1.2) {instable};
-\draw (0,0) circle (1);
- \draw [->] (0.4,0.) -- (0.4, -0.6 )   node [midway,right] {{$|\lambda|$}} ;
- \node  at (0.4, -0.6 )  {$\cdot$};
- \node  [color=red] at (-.5, 0.5)  { \parbox{4em}{{zone de stabilité}}};
- \node [above] at (.4,0) {{$(1-\lambda,0)$}};
- \node  at (0.4,0) {$\cdot$};
- \draw [->, very thick, color=blue] (1,0) arc (0: -90 : 0.6) node [xshift=10, yshift=05] {{$rh$}};
- \draw [->, very thick, color=DarkGreen] (1,0) arc (0: -60 : 1.0) 
- node [xshift=10, yshift=05] {{ $ \lambda r h$  }}  ;
- \draw [->] (-1.2,0) -- (1.2,0) node [below] {$\Re(\kappa)$}; 
- \draw [->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node [left] {$\Im(\kappa)$}; 
- \draw [color=blue, ->] (0,0) -- (0.4, -0.6 ) node {$\cdot$} ;
- \draw [color=DarkGreen, ->] (0,0) -- ( 0.5000000 ,-0.8660254) node {$\cdot$} ;
- \node [color=blue, text width=15em, right] at (-1,-1.4) {Solution système numérique :  \\ $1-\lambda+\lambda e^{-\icmplx rh}$} ; 
- \node [color=DarkGreen, text width=15em,right] at (-1,-1.7) {Solution système originel :  $ e^{-\icmplx \lambda rh}$} ; 
-\end{tikzpicture}
-\column{0.45\textwidth}
-\begin{block}{Observations}
-\begin{itemize}
-\item Stable quel que soit le signal pour $\lambda \leq 1$. 
-\item Dissipation et déphasage du signal, maximale pour  $r\rightarrow 0+n\pi/h$.
-\item Solution exacte pour $\lambda = 1$, mais système presque instable.
-\item Dissipation et déphasage minimums pour $rh \rightarrow 0$
-\end{itemize}
-\end{block}
-\begin{block}{Bonne pratique:}
-Choisir $rh$ petit et $\lambda$ plus petit mais proche de 1.
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{upwind_ks}
-\end{frame}
-
-\begin{frame} 
-\frametitle{Leap-frog: le retour}
-
-  \begin{exercice}
-    \label{ex:leapfrog}
-    Un schéma leapfrog pour résoudre l'équation d'advection est
-
-    \begin{displaymath}
-      u_{i,j+1} = u_{i,j-1} - \lambda(u_{i+1,j}-  u_{i-1,j}). 
-    \end{displaymath}
-
-    \begin{enumerate}
-      \item Montrez, par la méthode habituelle des différences finies, que l'erreur est de l'ordre 
-        $\mathcal{O}(h^2)+ \mathcal{O}(k^2)$. 
-      \item Fournissez le stencil, et montrez que sur l'axe $x$, les points pairs et impairs ne communiquent pas.
-      \item Quelle est la condition CFL ?
-      \item Trouvez la condition de stabilité pour $\lambda$.
-    \end{enumerate}
-  \end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma de Lax-Wendroff}
-Écrivons, de façon générale, l'itération suivante:
-\begin{equation*}
-u_{i, j+1} = A u_{i+1, j} + B u_{i, j} + C u_{i-1, j} 
-\end{equation*}
-Indépendamment, développons l'expression $u(x, t_j +k)$ selon Taylor, en utilisant l'équation d'advection $u_t = -a u_x$:
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-u(x_i, t_j+k) = u (x_i,t_j) - a ku_x(x_i,t_j) &+ \frac{1}{2} a^2k^2 u_{xx}(x_i,t_j)  \\ & - \frac{1}{6}a^3k^3(x_i, t_j) u_{xxx}   +\ldots 
-\end{split}
-\end{equation*}
-L'erreur de troncature (notée ici $k \tau_{ij}$) est la différence entre le schéma numérique et l'équation réelle, c'est-à-dire, en applicant cette définition:
-\begin{equation*}
-u(x_i, t_j+k) = A u(x_i+h, t_j) + B u(x_i, t_j) + C u(x_i-h, t_j)  + k\tau_{ij}
-\end{equation*}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-Enfin, en utilisant
-\begin{equation*}
- u(x_i \pm h, t_j)  =  u_{ij} \pm h u_x(x_i,t_j) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_i,t_j) + \ldots
-\end{equation*}
-Par identification, on trouve alors:
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-k \tau_{ij} &= (1 - A - B - C) u(x_i, t_j) - h (A-C+\lambda)u_x(x_i, t_j)
-\\ & - \frac{h^2}{2} (A+C-\lambda^2) u_{xx}(x_i,t_j) - \frac{1}{6} h^3(A-C- \lambda^3)u_{xxx}(x_i,t_j)+\ldots
-\end{split}
-\end{equation*}
-Il \emph{faut} (schéma consistent) que $k\tau_{ij}$ tende vers $0$ quand $h$ tend vers $0$, ce qui impose $A + B + C=1$ et  $A-C=-\lambda$. Pour déterminer le système, nous imposons en plus l'annulation du terme en dérivée seconde : $A+C = \lambda^2$. On aboutit alors au schéma Lax-Wendroff
-\begin{equation*}
-u_{i,j+1} = -\frac{1}{2}\lambda(1-\lambda)u_{i+1,j} + (1-\lambda^2)u_{ij} + \frac{1}{2}\lambda(1+\lambda)u_{i-1,j}
-\end{equation*}
-
-On peut vérifier que le terme de troncature est maintenant $\mathcal{O}(k^2) + \mathcal{O}(h^2) $.
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Domaine de dépendence, schéma Lax-Wendroff}
-\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
- \draw[->] (-8,0) -- (-8,8);
- \draw[->] (-8,0) -- (9,0);
- \draw (-8,0) grid [xstep=1,ystep=1] (8,7);
- \foreach \i in {0,...,6} { 
-  \setcounter{Jj}{6}
-  \addtocounter{Jj}{-\i}
-  \foreach \j in {0,...,\value{Jj}} { 
-  \node at (-\i, \j) {$\bullet$}; 
-  \node at (\i, \j) {$\bullet$}; 
-  }
-  }
- \node at (0,0) [below]  {$x_i$};
- \node at (-6,0) [below]  {$x_{i}-jh$};
- \node at (6,0) [below]  {$x_{i}+jh$};
- \node at (-8,6) [left] {$t_j$};
-\end{tikzpicture}
-
-CFL nous dit : $ h/k < 1/a$, i.e.: $\lambda < 1$. 
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\includegraphics{compare_up_lax}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma monotone}
-\begin{definition}
-Un schéma en différence finie est dit \textit{monotone} ssi
-$$u_{ij}\geq u_{i+1,j} \Rightarrow u_{i,j+1}\geq u_{i+1,j+1} $$
-\end{definition}
-\begin{theorem}
-Le schéma $ u_{i,j+1} = \sum_p A_p u_{p,j} $ est monotone si $A_p \geq 0 \forall p$. 
-\end{theorem}
-\begin{exercice}
-  Reprenez l'exercice \ref{ex:leapfrog}, et comparez les erreurs obtenues avec les schémas leapfrog et Lax-Wendrof. 
-\end{exercice}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{exercice}
-Considérez l'équation $u_t + a u_x + bu = 0$, où $a$,$b$ sont des constantes positives, et $u(x,0)=g(x)$.
-\begin{enumerate}
-\item Déterminez la solution exacte de l'équation
-\item Écrivez un schéma de Lax-Wendroff pour cette équation
-\item Déterminez la condition CFL et la condition de stabilité, sur base de la solution analytique du schéma (i.e., calculez $\kappa$ comme plus haut)
-\item Utilisez la méthode pour intégrer numériquement l'équation sur $0\leq t \leq 7$, dans le cas $a=1$, $b=1/7$, et
-$$
-g(x)=\left\{ 
-  \begin{array}{ll}   \frac{1}{2} (1-cos(2\pi x)) & \text{si $0\leq x \leq 1$}, \\ 
-                                                0 & \text{sinon.} \end{array} \right. $$
-Utilisez une grille où $\lambda$ vaut approximativement $0.99$ et une pour laquelle $\lambda \approx 0.5$. Commentez la méthode et vos résultats.
-\end{enumerate}
-\end{exercice}
-\end{frame}
-\section{Équation d'onde}
-\begin{frame}
-\frametitle{Définition}
-\begin{equation}
-\pdd{u}{t} = c^2 \pdd{u}{x},
-\label{}
-\end{equation}
-avec, pour conditions initiales : $u(x,0)=f(x)$ et $\ddt{u}(x,0) = g(x)$.
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Résolution selon Fourier}
-Soit: $y=\hat{y}e^{\icmplx (kx-\omega t)}$ : $\omega^2 = c^2 k^2$
-\begin{equation}
-\Rightarrow y = \hat{y} e^{\icmplx k(x\pm ct)}
-\label{}
-\end{equation}
-Si on pose, plus généralement: $\omega = \omega_r + \icmplx \omega_i$, on a:
-$$y=\hat{y}e^{-\omega_it } e^{\icmplx kx-\icmplx \omega_r t}$$
-\begin{enumerate}
-\item $\omega_i =0$ : système non-dissipatif (serait instable pour $\omega_i < 0$)
-\item $\omega/k = \dd{\omega}{k} = c$ : système non-dispersif
-\end{enumerate}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\frametitle{Résolution selon décomposition d'Alembert}
-Observez que:
-\begin{equation}
-(\pdd{}{t} - c^2 \pdd{}{x}) = (\pd{}{t} + c \pd{}{x}) (\pd{}{t} - c \pd{}{x}) 
-\end{equation}
-Il suffit alors de définir: $r=x+ct$ et $s=x-ct$, tels que:
-\begin{equation*}
-  \pd{}{r}=\frac{1}{2c}\left( \pd{}{t} + c\pd{}{x}\right);\quad\quad \pd{}{s}=-\frac{1}{2c}\left(\pd{}{t} - c\pd{}{x}\right);
-\end{equation*}
-De sorte que l'équation se ramène à : $\pd{}{r}\left( \pd{}{s} u \right) = 0$,
-qui a pour solution, une fois les conditions initiales prises en compte
-\begin{equation}
-u(x,t)= \frac{1}{2}f(x-ct) + \frac{1}{2}f(x+ct) +  \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(z)\, \d z
-\end{equation}
-\end{frame}
-\begin{frame}
-\frametitle{Schéma centré en temps et espace}
-En prenant:
-\begin{align*}
-u_{xx} &= \frac{u_{i+1,j} -  2 u_{i,j} +  u_{i-1,j} } {h^2} + \mathcal{O}(h^2) \\
-u_{tt} &= \frac{u_{i,j+1} -  2 u_{i,j} +  u_{i,j-1} } {k^2} + \mathcal{O}(k^2) 
-\label{}
-\end{align*}
-On a:
-\begin{equation*}
-u_{i,j+1} = \lambda^2 u_{i+1,j} + 2 (1-\lambda^2)u_{i,j} + \lambda^2 u_{i-1,j} -  u_{i,j-1}  + k^2\tau_{ij}
-\label{}
-\end{equation*}
-où $\tau_{i,j}=\mathcal{O}(h^2) + \mathcal{O}(k^2)$ est l'erreur de troncature et 
-$\lambda = \frac{ck}{h}$.
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-  \frametitle{Stencil et condition CFL}
-  \begin{columns}
- \column{.4\textwidth}
-\begin{tikzpicture}
-  \draw [-] (-1.8, -1) node [left] {$t_{j-1}$} -- (1.8, -1); 
- \draw [-] (-1.8, 0) node [left] {$t_j$} -- (1.8, 0); 
- \draw [-] (-1.8, 1) node [left] {$t_{j+1}$} -- (1.8, 1); 
- \draw [-] (-1, -1.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i-1}$} -- (-1, 1.5 ); 
- \draw [-] (0, -1.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i}$} -- (0, 1.5 ); 
- \draw [-] (1, -1.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i+1}$} -- (1, 1.5 ); 
- \node at (0,1)  [shape=circle, draw, color=black] { } ; 
- 
-
- \node at ( 0,-1)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( -1,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 0,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 1,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
- \node at ( 0,1)  [shape=circle, draw] { } ; 
-\end{tikzpicture}
- \column{.4\textwidth}
-    Condition CFL: 
-    \begin{equation*}
-      \frac{ck}{h}\leq 1
-      \label{}
-    \end{equation*}
-  \end{columns}
- \end{frame}
-
- \begin{frame}
-   \frametitle{Analyse de stabilité}
-   Considérons une solution de la forme
-   \[ u_{i,j} = w_j e^{\icmplx rx_i} \]
-   Substituée dans l'équation numérique, on a :
-   \[ w_{j+1} - 2 s w_j + w_{j-1}=0,\text{avec}\quad s = 1 - 2\lambda^2 \sin^2(rh/2) \]
-   Il s'agit d'une équation aux différences, que l'on peut tenter de résoudre en essayant $w_j = \kappa^j$.
-   On trouve : 
-   \[ \kappa^2 - 2 s \kappa + 1 = 0, \] soit
-
-   \[ \kappa_{\pm} = s \pm \sqrt {s^2 - 1}. \]
-
-
- \end{frame}
- \begin{frame}
-   \frametitle{Analyse de stabilité (ii)}
-   On veut que les deux solutions $|\kappa_{\pm}| \leq 1$, ce qui donne:
-
-   \[  -1 \leq s \leq 1,\text{i.e.}\quad  \lambda^2 \sin^2\left( \frac{rh}{2} \right) < 1 \]
-
-   Le cas le moins favorable se manifeste quand l'argument du sinus $=\pi/2$, i.e., $rh=n\pi$. Dans ce cas, la condition se ramène à $\lambda \leq 1$, ce qui
-   est la condition CFL:
-
-    \[   \frac{ck}{h} \leq 1 \]
- \end{frame}
-
- \begin{frame}
-   \frametitle{Onde plane}
-   L'onde plane 
-   \begin{equation*}
-     u(x,t) = e^{i(\bar k x - \bar \omega t)}
-     \label{}
-   \end{equation*}
-   est une solution classique de l'équation d'onde, dont
-   on connait la relation de dispersion: $\bar\omega^2 = c^2 \bar k^2$. 
-  Voyons comment elle se comporte dans le système numérique:
-  \begin{equation*}
-    e^{-\icmplx k \bar \omega} = \lambda^2 e^{\icmplx h \bar k} + 2(1-\lambda^2) 
-    + \lambda^2 e^{-\icmplx h \bar k} - e^{\icmplx k\bar\omega},
-    \label{}
-  \end{equation*}
-
-  ce qui, après un peu de calcul (et $2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = 1 - \cos\theta$):
-  \begin{equation*}
-    \sin\left( \frac{\bar \omega k}{2} \right)= \pm \lambda \sin \left( \frac{\bar k h}{2} \right).
-    \label{}
-  \end{equation*}
-
- \end{frame}
-
- \begin{frame}
-   \frametitle{Vitesses de phase et de groupe numériques}
-   \begin{eqnarray*}
-     v_{phn} & \approx \pm c \left( 1 - \dfrac{1}{12}(1-\lambda^2)(\bar k h)^2 \right) \\[2em]
-     v_{gn} & \approx \pm c \left( 1 - \dfrac{1}{8}(1-\lambda^2)(\bar k h)^2 \right)
-     \label{}
-   \end{eqnarray*}
-
- \end{frame}
-
-
-\begin{frame}
-  \begin{exercice}
-  Nous allons considérer une équation d'onde amortie:
-  \begin{displaymath}
-    u_{tt} + u_t = u_{xx},
-  \end{displaymath}
-  avec pour conditions initiales: $u(x,0) = f(x)$ et $u_t(x,0) = g(x)$. 
-  \begin{enumerate}
-    \item Fournissez une approximation en différences finies valable à l'ordre $\mathcal{O}(h^2)+\mathcal{O}(k^2)$, 
-      et qui satisfasse la condition CFL,
-    \item Quelles sont les conditions de stabilité sur $h$ et $k$,
-    \item Dans la région de stabilité, les schéma est-il dissipatif, dispersif ? Qu'en est-il de l'équation originelle ? 
-    \item Réalisez une simulation en choisissant les conditions initiales $f(x) = \exp (-2x^2)$ et $g(x) = 0$. 
-  \end{enumerate}
-\end{exercice}
-\end{frame}
+\end{document}
 
-%\end{document}
-%\section{Exercices d'examen}
-%\begin{frame}
-%  \frametitle{Mécanique Céleste}
-%
-%  \def\half{ {1\over2}  }
-%\begin{exampleblock}{Le schéma St\o rmer-Verlet}
-%\begin{align*}
-%  \vec{p}_{i+\half} &= \vec{p}_i - \frac{\dt}{2}  \frac{\partial H}{\partial \vec{q}}(\vec{q}_i, \vec{p}_{i+\half}) \\
-%  \vec{q}_{i+1} &= \vec{q}_i + {\dt\over 2}  
-%   \left[ 
-%  \frac{\partial H}{\partial \vec{p}}(\vec{q}_i, \vec{p}_{i+\half})  + 
-%  \frac{\partial H}{\partial \vec{p}}(\vec{q}_{i+1}, \vec{p}_{i+\half})  
-%   \right]
-%   \\
-%  \vec{p}_{i+1} &= \vec{p}_{i+\half} - {\dt\over 2} 
-%     \left[
-%     \frac{\partial H}{\partial \vec{q}}(\vec{q}_{i+1}, \vec{p}_{i+\half}) 
-%     \right] 
-%\end{align*}
-%\end{exampleblock}
-%
-%\begin{exerciceexamen}
-%  \small
-%  En partant de conditions initiales réalistes, calculez l'évolution de l'orbite
-%  de Jupiter pour les 5000 prochaines années. \\
-%  Tenez-compte d'abord de Jupiter et le Soleil. Tenez-compte ensuite de Saturne. \\
-%  Comparez les résultats obtenus avec les schémas de Heun, de Verlet et St\o rmer-Verlet. Les deux premiers schémas ont été vus au  cours. Concentrez votre analyse sur les invariants du système (intégrales premières).
-%\end{exerciceexamen}
-%
-%\end{frame}
-%
-%\begin{frame}
-%  \frametitle{Équation de Klein-Gordon}
-%
-%  \begin{exampleblock}{Contexte physique}
-%    L'équation de Klein-Gordon  est une forme relativiste de l'équation de Schröninger. Sa formulation
-%    physique est 
-%    \begin{equation}
-%      \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2\psi + \frac{m^2c^2}{\hbar}\psi = 0
-%    \end{equation}
-%    Nous en reprenons la version adimensionnelle, simplifiée dans une dimension de l'espace: 
-%    \begin{equation}
-%      c^2 u_{xx} = u_{tt} + bu 
-%    \end{equation}
-%    où $c$ et $b$ sont strictement positives. 
-%\end{exampleblock}
-%
-%\end{frame}
-%\begin{frame}
-%Considérons les conditions initiales classiques $u(0,t)=u(\ell,t) = 0$ et $u(x,0)=f(x)$ et par
-%ailleurs, posons $u_t(x,0)=0$. La solution est : 
-%
-%\begin{equation}
-%  u(x,t)= \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(\lambda_n x)\cos\left( t\sqrt {b + \lambda_n^2 c^2 }\right), 
-%\end{equation}
-%
-%
-%avec $\lambda_n = n\pi$ et $a_n = 2 \int_0^1 f(x) \sin(\lambda_n x)\, \mathrm{d}x$. 
-%\end{frame}
-%\begin{frame}
-%\begin{exerciceexamen}
-%  \begin{enumerate}
-%  \tiny
-%    \item Développez une approximation du problème en différences finies. Soignez les conditions initiales, de telle façon que les approximations soient de l'ordre de $\mathcal{O}(h^2) + \mathcal{O}(k^2)$, et que les conditions CFL soient satisfaites. 
-%    \item Quelles sont les conditions de stabilité sur $h$ et $k$ ?
-%    \item Dans la région de stabilitié, votre schéma est-il \textit{dispersif} ou \textit{dissipatif} ? \\
-%      Considérez maintenant la condition initiale suivante: 
-%
-%
-%      \begin{equation}
-%        f(x) = 
-%        \begin{cases}
-%          \frac{1}{2}\left(1-\cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \right), & \text{si $0 \leq x \leq a$} \\
-%            0,              & \text{sinon},
-%        \end{cases}
-%        \label{}
-%      \end{equation}
-%      avec $a = 0.09$, et les paramètres $c=1$ et $b=4$. Discrétisez selon ce qui vous semble raisonnable (ne pas avoir peur: il faut au moins 150  points de grille)
-%    \item Utilisez un pas de temps $k$ qui satisfait la condition de stabilité et estimez $u$ jusque $t=2.0$ pour $0\leq x \leq 1$ et dessinez les solutions exactes et numériques pour $t=0$, $t=0.4$ $\ldots$ $t=2.0$. 
-%    \item Répétez l'étape précédente en doublant le nombre de points.
-%    \item Estimez les vitesses de phase et de groupe en fonction du nombre d'onde : comparez la valeur théorique avec les valeurs numériques dans les deux cas de discrétisation.
-%    \item Commentez vos résultats. 
-%  \end{enumerate}
-%\end{exerciceexamen}
-%\end{frame}
-%\begin{frame}
-%\begin{exerciceexamen}
-%\tiny
-%Considerez l'équation d'advection-diffusion suivante:
-%\begin{equation}
-%D u_{xx} - a u_x - bu = u_t
-%\label{}
-%\end{equation}
-%\begin{enumerate}
-%\item Fournissez un schéma numérique explicite d'ordre $\mathcal{O}(h+k)$. Donnez-en le stencil. Nous pouvons introduire les facteurs $\lambda_d = Dk/h^2$, $\lambda_a = ak/h$ et $\lambda_b = bk$. Quelles importances ces facteurs ont-ils pour la condition de stabilité ? 
-%\item Fournissez la solution analytique de l'équation, ainsi que la relation de dispersion. Discutez brièvement les cas particuliers déjà vus au cours ($D=0$, $b=0$, etc. ) 
-%\item Fournissez un schéma implicite. Est-il toujours stable ? 
-%\item Illustrez votre propos avec plusieurs simulations numériques, comparant schémas numériques implicites et explicites
-%\item Montrez, dans ces schéma numériques, quels termes sont responsables de la diffusion numérique. Quel est son ordre de grandeur par rapport à la diffusion explicitement modélisée par le terme $D$ ?
-%\item Comparez vitesse de groupe numérique avec celle du système originel. Le schéma est-il dispersif ? 
-%\item Le terme de diffusion $D$ peut-il être responsable d'un comportement instable? Expliquez
-%\item Fournissez un schéma de Lax-Wendroff à trois points ($i-1$, $i$, $i+1$) dans l'espace. Quel est l'ordre de ce schéma ? Est-il monotone ? Discutez les avantages et les inconvénients au schéma que vous avez donné au point 1 ci-dessus. 
-%\end{enumerate}
-%\end{exerciceexamen}
-%
-%\end{frame}
 
-\end{document}
diff --git a/advection.tex b/advection.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..a9a612d0f94e1deb8ffbfd268ea53ee45c5b14e0
--- /dev/null
+++ b/advection.tex
@@ -0,0 +1,344 @@
+
+\section{Équation d'advection}
+\begin{frame}
+De façon générale l'équation d'advection s'écrit
+\begin{equation}
+\pdt{u} + a \pdx {u} = 0,\quad \text{pour}\ \left\{ \begin{array}{ll} -\infty < x < \infty, \\ 0 < t, \end{array} \right.
+\end{equation}
+avec la condition frontière $u(x,0)=g(x)$.
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Résolution analytique}
+Définissons $(r,s)$ tels que : $x = ar+s$ et $t = r$. Alors:
+\begin{equation}
+\pd{u }{r} = \pd{u}{t} \pd{t}{r} + \pd{u}{x} \pd{x}{r} =  \pdt{u} + a \pdx {u} = 0.
+\label{}
+\end{equation}
+\begin{tabular}{ll}
+Donc: $u(x(r,s), t(r,s))$&$=u(ar+s, r)$ est invariant $\forall r=t$, \\ & $= u(s, 0) = g(x-at)$.
+\end{tabular}
+\end{frame}
+\newcommand{\setcol}[1] { 
+ \ifnum#1=0 %
+ \def\fcol{red} \fi
+ \ifnum #1=1 \def\fcol{blue} \fi
+ \ifnum #1=2 \def\fcol{black} \fi
+ }
+
+\begin{frame}
+\begin{example}
+$a=1$ et $g(x)=e^{-x^2}$
+
+\bigskip
+
+\begin{tikzpicture}
+\draw [->] (-5,0) -- (3,0) node [below] {$x$};
+\foreach \i in {0,1,2}
+{ \setcol{\i} \draw [color=\fcol] plot[id=f\i,domain=-5+\i:-1+\i] function {exp(-(x+3-\i)*(x+3-\i))} node [xshift=-4em, yshift=4em] {$t=\i$}; }
+\foreach \i in {-1,...,5} { \draw (\i-3, 0) -- (\i-3, -0.1) node [below] {\small{$\i$}}; } 
+\end{tikzpicture} 
+\end{example}
+\begin{block}{propriétés}
+\begin{itemize}
+\item Information se propage sans déformation à vitesse $a$
+\item La solution en $(x,t)$ est entièrement déterminée par l'information en $\bar{x}=x-at$.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame} 
+
+\begin{frame}
+\begin{tikzpicture}
+\draw [->] (-1,0) -- (4,0) node [below] {$x$};
+\draw [->] (0,-1) -- (0,3.2) node [left] {$t$};
+\node at (4,2) {$\bullet$};
+\draw [color=black!50] (1,0) node [below] {$(x-at,0)$} -- (2.5, 1) node [right] {$\longleftarrow$ \parbox{4em}{\small {domaine de dépendence}}} -- (4,2) node [right] {$(x,t)$};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma upwind}
+On part de l'équation en différence finie:
+\begin{align*}
+\frac{u(x_i, t_{j+1}) - u(x_i, t_{j}) }{k} + a \frac{u(x_i, t_{j}) - u(x_{i-1}, t_{j}) }{h} + \tau_{ij} &= 0,  \\
+\tau_{ij} &= \mathcal{O}(h) +  \mathcal{O}(k).
+\end{align*}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma downwind}
+On part de l'équation en différence finie:
+\begin{align*}
+\frac{u(x_i, t_{j+1}) - u(x_i, t_{j}) }{k} + a \frac{u(x_{i+1}, t_{j}) - u(x_{i}, t_{j}) }{h} + \tau_{ij} &= 0,  \\
+\tau_{ij} &= \mathcal{O}(h) +  \mathcal{O}(k).
+\end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{tabular}{l|l}
+upwind  & downwind \\ \hline \\
+\begin{tikzpicture}
+\stencil
+ \node at ( -1 , 0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 0,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 0,1)  [shape=circle, draw] { } ; 
+\end{tikzpicture}  
+&
+\begin{tikzpicture}
+\stencil
+ \node at (1 ,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 0,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 0,1)  [shape=circle, draw] { } ; 
+\end{tikzpicture} 
+\\
+\parbox{0.4\textwidth}{
+\begin{align*}
+u_{i,j+1} &= (1-\lambda) u_{ij} + \lambda u_{i-1,j}, \\
+\lambda   &= ak / h
+\end{align*}
+}
+& 
+\parbox{0.4\textwidth}{
+\begin{align*}
+u_{i,j+1} &= (1+\lambda) u_{i,j} - \lambda u_{i+1,j}, \\
+\lambda   &= ak / h
+\end{align*} 
+}
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{frame}
+
+\newcounter{Jj}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Exemple: Signal carré pour condition initiale}
+\includegraphics{upwind}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Exemple: Signal carré pour condition initiale}
+\includegraphics{downwind}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}
+{Critère de Friedrich-Courant-Lévy (CFL)} Le domaine de dépendence numérique du schéma doit contenir le domaine de dépendance du problème initial.
+
+\emph{Nota:} Condition nécessaire de stabilité; pas suffisante.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Upwind : domaine de dépendence}
+\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
+ \draw[->] (-8,0) -- (-8,8);
+ \draw[->] (-8,0) -- (9,0);
+ \draw (-8,0) grid [xstep=1,ystep=1] (8,7);
+ \foreach \i in {0,...,6} { 
+  \setcounter{Jj}{6}
+  \addtocounter{Jj}{-\i}
+  \foreach \j in {0,...,\value{Jj}} { 
+  \node at (-\i, \j) {$\bullet$};}}
+ \node at (0,0) [below]  {$x_i$};
+ \node at (-6,0) [below]  {$x_{i}-jh$};
+ \node at (-8,6) [left] {$t_j$};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Downwind : domaine de dépendence}
+\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
+ \draw[->] (-8,0) -- (-8,8);
+ \draw[->] (-8,0) -- (9,0);
+ \draw (-8,0) grid [xstep=1,ystep=1] (8,7);
+ \foreach \i in {0,...,6} { 
+  \setcounter{Jj}{6}
+  \addtocounter{Jj}{-\i}
+  \foreach \j in {0,...,\value{Jj}} { 
+  \node at (\i, \j) {$\bullet$};}}
+ \node at (0,0) [below]  {$x_i$};
+ \node at (6,0) [below]  {$x_{i}+jh$};
+ \node at (-8,6) [left] {$t_j$};
+\end{tikzpicture}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Domaine de stabilité}
+Comme à l'ordinaire, nous pouvons tenter une solution de la forme:
+\begin{equation*}
+u_{ij}=w_j e^{ \icmplx rx_i},\quad \icmplx=\sqrt{-1} 
+\label{}
+\end{equation*}
+ce qui, introduit dans la méthode \textit{upwind}, nous donne, 
+\begin{equation}
+w_j = \kappa^j w_0\quad \text{avec }\kappa=1-\lambda(1-e^{-\icmplx rh})
+\label{}
+\end{equation}
+
+
+La condition de stabilité se ramène donc à (après calcul et en utilisant $1-\cos(rh) = 2\sin^2(rh/2)$):
+\[ \boxed{|\kappa|^2 =  [ 1 -  4\lambda(1-\lambda)\sin^2(rh/2) ] \leq 1 } \]
+
+Ceci revient à $\lambda(1-\lambda) \sin^2(rh/2) \geq 0$ et,
+ce qui  revient à $ \lambda \leq 1$ (condition CFL).
+\end{frame}
+\begin{frame}
+
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{tikzpicture} [scale=2.0]
+\tikzstyle{every node}=[font=\small]
+ \pgfsetfillopacity{0.2}
+ \filldraw [color=blue] (0.4,0.) circle (0.6) ;
+ \filldraw [color=red] (0,0) circle (1) ;
+ \pgfsetfillopacity{1.0};
+% \node at (0.,-0.5) {stable};
+% \node at (0.,1.2) {instable};
+\draw (0,0) circle (1);
+ \draw [->] (0.4,0.) -- (0.4, -0.6 )   node [midway,right] {{$|\lambda|$}} ;
+ \node  at (0.4, -0.6 )  {$\cdot$};
+ \node  [color=red] at (-.5, 0.5)  { \parbox{4em}{{zone de stabilité}}};
+ \node [above] at (.4,0) {{$(1-\lambda,0)$}};
+ \node  at (0.4,0) {$\cdot$};
+ \draw [->, very thick, color=blue] (1,0) arc (0: -90 : 0.6) node [xshift=10, yshift=05] {{$rh$}};
+ \draw [->, very thick, color=DarkGreen] (1,0) arc (0: -60 : 1.0) 
+ node [xshift=10, yshift=05] {{ $ \lambda r h$  }}  ;
+ \draw [->] (-1.2,0) -- (1.2,0) node [below] {$\Re(\kappa)$}; 
+ \draw [->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node [left] {$\Im(\kappa)$}; 
+ \draw [color=blue, ->] (0,0) -- (0.4, -0.6 ) node {$\cdot$} ;
+ \draw [color=DarkGreen, ->] (0,0) -- ( 0.5000000 ,-0.8660254) node {$\cdot$} ;
+ \node [color=blue, text width=15em, right] at (-1,-1.4) {Solution système numérique :  \\ $1-\lambda+\lambda e^{-\icmplx rh}$} ; 
+ \node [color=DarkGreen, text width=15em,right] at (-1,-1.7) {Solution système originel :  $ e^{-\icmplx \lambda rh}$} ; 
+\end{tikzpicture}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{Observations}
+\begin{itemize}
+\item Stable quel que soit le signal pour $\lambda \leq 1$. 
+\item Dissipation et déphasage du signal, maximale pour  $r\rightarrow 0+n\pi/h$.
+\item Solution exacte pour $\lambda = 1$, mais système presque instable.
+\item Dissipation et déphasage minimums pour $rh \rightarrow 0$
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Bonne pratique:}
+Choisir $rh$ petit et $\lambda$ plus petit mais proche de 1.
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{upwind_ks}
+\end{frame}
+
+\begin{frame} 
+\frametitle{Leap-frog: le retour}
+
+  \begin{exercice}
+    \label{ex:leapfrog}
+    Un schéma leapfrog pour résoudre l'équation d'advection est
+
+    \begin{displaymath}
+      u_{i,j+1} = u_{i,j-1} - \lambda(u_{i+1,j}-  u_{i-1,j}). 
+    \end{displaymath}
+
+    \begin{enumerate}
+      \item Montrez, par la méthode habituelle des différences finies, que l'erreur est de l'ordre 
+        $\mathcal{O}(h^2)+ \mathcal{O}(k^2)$. 
+      \item Fournissez le stencil, et montrez que sur l'axe $x$, les points pairs et impairs ne communiquent pas.
+      \item Quelle est la condition CFL ?
+      \item Trouvez la condition de stabilité pour $\lambda$.
+    \end{enumerate}
+  \end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma de Lax-Wendroff}
+Écrivons, de façon générale, l'itération suivante:
+\begin{equation*}
+u_{i, j+1} = A u_{i+1, j} + B u_{i, j} + C u_{i-1, j} 
+\end{equation*}
+Indépendamment, développons l'expression $u(x, t_j +k)$ selon Taylor, en utilisant l'équation d'advection $u_t = -a u_x$:
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+u(x_i, t_j+k) = u (x_i,t_j) - a ku_x(x_i,t_j) &+ \frac{1}{2} a^2k^2 u_{xx}(x_i,t_j)  \\ & - \frac{1}{6}a^3k^3(x_i, t_j) u_{xxx}   +\ldots 
+\end{split}
+\end{equation*}
+L'erreur de troncature (notée ici $k \tau_{ij}$) est la différence entre le schéma numérique et l'équation réelle, c'est-à-dire, en applicant cette définition:
+\begin{equation*}
+u(x_i, t_j+k) = A u(x_i+h, t_j) + B u(x_i, t_j) + C u(x_i-h, t_j)  + k\tau_{ij}
+\end{equation*}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+Enfin, en utilisant
+\begin{equation*}
+ u(x_i \pm h, t_j)  =  u_{ij} \pm h u_x(x_i,t_j) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_i,t_j) + \ldots
+\end{equation*}
+Par identification, on trouve alors:
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+k \tau_{ij} &= (1 - A - B - C) u(x_i, t_j) - h (A-C+\lambda)u_x(x_i, t_j)
+\\ & - \frac{h^2}{2} (A+C-\lambda^2) u_{xx}(x_i,t_j) - \frac{1}{6} h^3(A-C- \lambda^3)u_{xxx}(x_i,t_j)+\ldots
+\end{split}
+\end{equation*}
+Il \emph{faut} (schéma consistent) que $k\tau_{ij}$ tende vers $0$ quand $h$ tend vers $0$, ce qui impose $A + B + C=1$ et  $A-C=-\lambda$. Pour déterminer le système, nous imposons en plus l'annulation du terme en dérivée seconde : $A+C = \lambda^2$. On aboutit alors au schéma Lax-Wendroff
+\begin{equation*}
+u_{i,j+1} = -\frac{1}{2}\lambda(1-\lambda)u_{i+1,j} + (1-\lambda^2)u_{ij} + \frac{1}{2}\lambda(1+\lambda)u_{i-1,j}
+\end{equation*}
+
+On peut vérifier que le terme de troncature est maintenant $\mathcal{O}(k^2) + \mathcal{O}(h^2) $.
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Domaine de dépendence, schéma Lax-Wendroff}
+\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
+ \draw[->] (-8,0) -- (-8,8);
+ \draw[->] (-8,0) -- (9,0);
+ \draw (-8,0) grid [xstep=1,ystep=1] (8,7);
+ \foreach \i in {0,...,6} { 
+  \setcounter{Jj}{6}
+  \addtocounter{Jj}{-\i}
+  \foreach \j in {0,...,\value{Jj}} { 
+  \node at (-\i, \j) {$\bullet$}; 
+  \node at (\i, \j) {$\bullet$}; 
+  }
+  }
+ \node at (0,0) [below]  {$x_i$};
+ \node at (-6,0) [below]  {$x_{i}-jh$};
+ \node at (6,0) [below]  {$x_{i}+jh$};
+ \node at (-8,6) [left] {$t_j$};
+\end{tikzpicture}
+
+CFL nous dit : $ h/k < 1/a$, i.e.: $\lambda < 1$. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{compare_up_lax}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma monotone}
+\begin{definition}
+Un schéma en différence finie est dit \textit{monotone} ssi
+$$u_{ij}\geq u_{i+1,j} \Rightarrow u_{i,j+1}\geq u_{i+1,j+1} $$
+\end{definition}
+\begin{theorem}
+Le schéma $ u_{i,j+1} = \sum_p A_p u_{p,j} $ est monotone si $A_p \geq 0 \forall p$. 
+\end{theorem}
+\begin{exercice}
+  Reprenez l'exercice \ref{ex:leapfrog}, et comparez les erreurs obtenues avec les schémas leapfrog et Lax-Wendrof. 
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{exercice}
+Considérez l'équation $u_t + a u_x + bu = 0$, où $a$,$b$ sont des constantes positives, et $u(x,0)=g(x)$.
+\begin{enumerate}
+\item Déterminez la solution exacte de l'équation
+\item Écrivez un schéma de Lax-Wendroff pour cette équation
+\item Déterminez la condition CFL et la condition de stabilité, sur base de la solution analytique du schéma (i.e., calculez $\kappa$ comme plus haut)
+\item Utilisez la méthode pour intégrer numériquement l'équation sur $0\leq t \leq 7$, dans le cas $a=1$, $b=1/7$, et
+$$
+g(x)=\left\{ 
+  \begin{array}{ll}   \frac{1}{2} (1-cos(2\pi x)) & \text{si $0\leq x \leq 1$}, \\ 
+                                                0 & \text{sinon.} \end{array} \right. $$
+Utilisez une grille où $\lambda$ vaut approximativement $0.99$ et une pour laquelle $\lambda \approx 0.5$. Commentez la méthode et vos résultats.
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+\end{frame}
diff --git a/cond_frontieres.tex b/cond_frontieres.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..4261380fdd6b8dffea83c11e696f270ee3884415
--- /dev/null
+++ b/cond_frontieres.tex
@@ -0,0 +1,282 @@
+
+\section{Problèmes aux conditions frontières}
+\begin{frame}
+\begin{exampleblock}{Tension sur un fil}
+\begin{equation} \ddd{y}{x} = f(x), \text{pour} \quad  0<x<\ell \quad \text{avec}\, y(0)=y(\ell)=0.  \end{equation}
+\end{exampleblock}
+
+\begin{exampleblock}{Équation de Bratu (cinématique chimique)}
+\begin{equation} \ddd{y}{x} = - e^y, \text{pour} \quad 0<x<\ell \quad \text{avec}\, y(0)=y(\ell)=0.  \end{equation}
+\end{exampleblock}
+
+\end{frame}
+\begin{frame} \frametitle{Méthode des différences finies}
+\begin{enumerate}
+\item Définir les points de discrétisation $x_0, x_1, \ldots, x_{N+1}$.
+\item Évaluer l'équation différentielle en ces points
+\item Exprimer la dérivée sous la forme d'une différence finie
+\item Laisser tomber les termes de troncature.
+\end{enumerate}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Corde sous tension : résolution par différence finie}
+\begin{enumerate}
+\item On choisit:  $$x_i = ih, \quad i=0,1, \ldots , N+1.$$
+\item On a donc: $$\ddd{y}{x}(x_i) = f(x_i) =: f_i$$
+\item On exprime : $$\ddd{y}{x}(x_i) = \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} + \mathcal{O}(h^2),$$
+\item Ce qui donne : $$y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}  = h^2 f_i.$$
+\end{enumerate}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+Le système s'écrit donc dans ce cas comme une équation linéaire, à matrice tri-diagonale:
+\begin{equation}
+\left( 
+\begin{array}{rrrrr}
+ -2 &  1 &    &     \\
+  1 & -2 &  1 &     \\
+    &\ddots& \ddots   & \ddots    \\
+    &  1 &-2  &  1 \\
+    &    & 1  & -2 \\
+\end{array}
+\right)
+\left( 
+\begin{array}{c}
+ y_1 \\ y_2  \\  \vdots  \\ y_{N-1} \\ y_{N}
+\end{array}
+\right) = 
+h^2
+\left(
+\begin{array}{c}
+f_1 \\  f_2  \\   \vdots  \\ f_{N-1} \\  f_{N} 
+\end{array}
+\right )
+\end{equation}
+\end{frame}
+\begin{frame}\frametitle{Matrices tri-diagonales}
+\begin{numerictip}
+\begin{tabular}{cc}
+\parbox{0.45\textwidth} 
+{
+Les équations à matrices tri-diagonales, de la forme $\vec{Ay}=\vec{z}$, où
+$\vec{A}=
+\left( 
+\begin{array}{lllll}
+ a_1& c_1 &    &     \\
+ b_2 & a_2 & c_2 &     \\
+    &\ddots& \ddots   & \ddots    \\
+    & b_{N-1} & a_{N-1}  &  c_{N-1} \\
+    &    &b_N &  a_{N} \\
+\end{array}
+\right)$, se résolvent selon un algorithme simple, dérivé de la factorisation LU:
+}
+& 
+\colorbox{yellow!10}{\parbox{0.45\textwidth}{
+\begin{algorithmic}[1]
+\State $w \gets  a_1$; $y_1 \gets z_1 / w $
+\For {$i=2 \to N$}
+\State $v_i \gets {c_{i-1} / w}$
+\State $w \gets a_i - b_i v_i$
+\State $y_i \gets {(z_i - b_i y_{i-1}) / {w}}$
+\EndFor
+\For {$j=N-1, N-2, \ldots , 1$}
+\State $y_j \gets y_j - v_{j+1} y_{j+1}$
+\EndFor
+\end{algorithmic}
+}
+}
+\end{tabular}
+\bigskip
+
+Bien sûr, \texttt{LAPACK} fait ceci pour vous.
+\end{numerictip}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Solution unique du système en diff. finie?}
+Soit les sommes partielles $r_i$, définies comme la somme des éléments non-diagonaux sur la ligne $i$, i. e. 
+$$ 
+r_i = \left\{ \begin{array}{ll} 
+   |b_i| + |c_i| \quad & \text{si} i \neq 1,N, \\
+   |c_1|  & \text{si} i = 1, \\
+   |b_N|  & \text{si} i = N, \end{array}\right.
+$$
+\begin{definition} 
+Une matrice est dite tridiagonalement dominante si $|a_i| \geq r_i\, \forall i$, et strictement dominante si l'inégalité est stricte.
+\end{definition}
+\begin{theorem}
+Une matrice admet une inverse réelle unique \emph{et} l'algorithme LU fournit la solution soit si, 
+\begin{enumerate}
+\item elle est strictement diagonalement dominante
+\item elle est diagonalement dominante, avec $c_i\neq 0\, \forall i$, et $|b_N|<|a_N|$.
+\end{enumerate}
+\end{theorem}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Solution unique? (suite)}
+On voit donc que pour le probl\`eme de la corde sous tension, la solution sera toujours unique, quelle que soit la r\'esolution spatiale. 
+
+L'\'equation plus g\'en\'erale:
+\begin{equation}
+\ddd{y}{x} + p(x) \dd{y}{x} + q(x)y = f(x)
+\label{eq:gen}
+\end{equation}
+admet pour résolution en différence finie:
+\begin{eqnarray*}
+&a_i = - 2 + h^2q(x_i) ; \quad b_i=1-\frac{h}{2}p(x_i);\quad c_i=1+\frac{h}{2}p(x_i)
+\end{eqnarray*}
+On peut montrer (Holmes, p. 52) que  \label{solunique}
+\begin{theorem}
+si $p(x)$, $q(x)$ et $f(x)$ sont continues, et que $q(x)\leq0$, alors la solution est unique si $hp_\infty < 2$, o\`u $p_\infty :=\max |p(x)|$.
+\end{theorem}
+\end{frame}
+\begin{frame}\frametitle{Matrice bien conditionnée?}
+\begin{definition}
+ La condition Euclidienne d'une matrice, noté $\mathop{cond}_2$ est le rapport en valeur absolue entre sa plus grande et sa plus petite valeur propre.\footnote{Selon Holmes, voir cependant LMAT1151 pour une définition plus rigoureuse}
+\end{definition}
+
+\begin{numerictip}
+ La résolution numérique de l'inverse d'une matrice n'est fiable que si l'inverse de sa condition est grand par rapport à l'erreur d'arrondi. 
+\end{numerictip}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+La matrice
+$\vec{A}=
+\left( 
+\begin{array}{ccccc}
+ a& c &    &     \\
+ b & a & c &     \\
+    &\ddots& \ddots &    \\
+    & b & a  &  c \\
+    &    &b &  a \\
+\end{array}
+\right)$, admet pour valeurs propres
+
+\begin{equation}
+\lambda_i = a + 2 \sqrt{bc} \cos \left( \frac{i\pi}{N+1} \right).
+\end{equation}
+
+On peut vérifier que pour le problème général \eqref{eq:gen} mais avec $p(x)\equiv p$, $q(x)\equiv q$, et en développant les termes en $\cos$ selon Taylor, que
+\begin{equation*}
+\mathop{cond}_2(\vec{A}) = \frac{16N^2}{4\pi^2 + \left( p^2 - 4q \right)\ell^2} + \mathcal{O}(N).
+\end{equation*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{example}
+\includegraphics{bvp_prob1}
+\end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Analyse d'erreur}
+L'erreur totale peut se décomposer en $|(y(x_i) - y_i) + (y_i - \bar{y}_i)|$, où
+\begin{tabular}{ll}
+\quad & $y_i$ est la solution du système en différence finie \\
+\quad & $\bar{y}_i$ est la solution calculée par ordinateur (numérique)
+\end{tabular}
+
+\begin{theorem}
+Si les fonction $p$, $q$, $f$ sont continues, et $q(x) < -\gamma < 0$, alors
+\begin{equation*}
+|(y(x_i) - y_i)| \leq C \left[\tau_\infty + \mathop{max}\left\{ |E_0|, |E_{N+1}| \right\} \right],
+\end{equation*}
+où $\tau_\infty$ est la plus grande erreur de troncature du schéma, $C=\mathop{max}\left\{ 1,1/\gamma \right\}$, et $E_0$ et $E_{N+1}$ sont les approximations éventuelles des conditions frontières.
+\end{theorem}
+
+Le terme $|(y_i - \bar{y}_i)| $ devient potentiellement important lorsque la matrice est mal conditionnée. 
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{example}
+\includegraphics{bvp_error.pdf}
+\end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{exercice}
+Le système suivant illustre la notion de couche limite: 
+\begin{equation}
+\epsilon \ddd{y}{x} - x^2 \dd{y}{x} - y = 0, \quad 0 < x < 1, \epsilon=10^{-2},
+\end{equation}
+avec les conditions frontières : $y(0)=y(1)=1$. 
+Calculez en les solutions en différence finie pour $N=10, 20, 50, 120$. 
+Comparez avec le critère garantissant la solution unique (p. \pageref{solunique}).
+Qu'en déduisez-vous? A partir de quelle valeur de $N$ peut-on penser que les erreurs d'arrondi 
+vont commencer à dominer? Sur base de ces considérations, quel intérêt tirerait-on d'une grille non régulière dans un cas comme celui-ci?
+\end{exercice}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\includegraphics{bvp_prob2.pdf}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Conditions sur les dérivées}
+Les conditions frontières peuvent s'imposer sur les dérivées $\dd{y}{x}(0, \ell)$, où même une combinaison des dérivées et des valeurs aux frontières.
+\begin{example}
+La condition $a\, y(0) + b \, \dd{y}{x}(0) = \alpha$ peut elle même s'exprimer sous la forme d'une différence finie. Pour bien faire, il nous faut une approximation d'ordre 2. L'approximation suivante en est une:
+\begin{equation*}
+a\, y_0 + \frac{b}{2h}(-y_2 + 4 y_1 - 3 y_0) = \alpha
+\end{equation*}
+qui peut se réexprimer sous la forme:
+\begin{equation*}
+y_0 = \frac{b}{2ah - 3b}(y_2 - 4 y_1) + \frac{2 \alpha h}{2 a h - 3b}
+\end{equation*}
+
+On peut alors utiliser cette valeur de $y_0$ lorsqu'on développe la matrice $\vec{A}$.
+\end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \begin{exercice}
+    Considérons le problème général
+    \begin{equation*}
+      y^{\prime\prime} + p(x) y^\prime + q(x) y = f(x)\, \text{pour }0<x<\ell
+    \end{equation*}
+    Développez de schémas en diff. finies corrects à l'ordre 2 pour les conditions
+    (deux exercices distincts)
+    \begin{enumerate}
+      \item $y(0)=\alpha \quad\text{et}\quad y(\ell)+\gamma y^\prime(\ell) = \beta $ \\
+      \item $y(0)=y(\ell)$ \quad\text{et}\quad $y^\prime(0)=y^\prime(\ell)$ 
+    \end{enumerate}
+  \end{exercice}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Systèmes non linéaires}
+De façon tout à fait générale, l'approximation en différence finie d'un système non-linéaire va pouvoir s'exprimer sous la forme
+\begin{equation}
+\vec{F}(\vec{y}) = \vec{0}
+\label{}
+\end{equation}
+
+Que l'on peut résoudre selon la méthode de Newton. Soit:  \\
+\begin{tabular}{ll}
+\quad & $\vec{z_0}$ une estimation de ce que la solution peut être \\
+\quad & $\vec{J}$ le Jacobien de $F$.
+\end{tabular}
+
+Le schéma suivant doit converger vers la solution si le système est suffisamment régulier:
+\begin{equation*}
+\vec{z}_{k+1} = \vec{z}_k - {J_k}^{-1} F_k, \quad k=0, 1, 2, \ldots
+\end{equation*}
+\begin{exercice}
+Résoudre l'équation de Bratu $y^{\prime \prime}=-e^{y}$, $0<x<1$, avec $y(0)=y(1)=0$. 
+Utiliser comme premier essai $z_0=x-x^2$; recommencez et utilisez $z_0=16 (x-x^2)$. Qu'en déduisez-vous?
+\end{exercice}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\includegraphics{bratu}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Autres méthodes}
+\begin{block}{Méthodes des résidus}  Exprimer $y(x)$ dans un base de fonctions ($y(x)=\sum a_i \phi_i(x)$) et ajuster les coefficients (collocation ou moindre carrés : voir cours Prof. B. Piraux)
+\end{block}
+\begin{block}{Shooting methods}
+Reformuler le problème de façon similaire à un problème aux conditions initiales, i.e. : $\dd{x}{\vec{y}}=F(x, {y})$ où $\vec{y}=(y, y^\prime)\T$ et où seul $\vec{y}(0)$ est spécifié, et ajuster itérativement la condition sur $\vec{y}(0)$ de façon à remplir  les conditions frontières en $x=0$ et $x=\ell$.
+\end{block}
+\end{frame}
diff --git a/cond_initiales.tex b/cond_initiales.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..f8b3ee5817620a9cdd08e82a48cad18a7323873e
--- /dev/null
+++ b/cond_initiales.tex
@@ -0,0 +1,369 @@
+\section{Problèmes aux conditions initiales}
+\begin{frame}
+\frametitle{Exemples}
+\begin{exampleblock}{Décroissance radioactive}
+$\ddt{x} = -\lambda x$, \quad avec $x(t_0)=x_0$. \newline
+Posons $\hat{x}=x/x_0$ et $\hat{t}=(t-t_0)\lambda$, on a 
+\begin{equation}
+\dd{\hat{x}}{\hat{t}} = - \hat {x} \quad\text{avec}\quad \hat{x}(0)=1.
+\label{eq:rad}
+\end{equation}
+\end{exampleblock}
+\begin{exampleblock}{Equation logistique}
+\begin{equation}
+\ddt{y}= \lambda y ( 1-y)
+\end{equation}
+\end{exampleblock}
+\begin{exampleblock}{Oscillateur harmonique}
+\begin{equation}
+\ddt{p}=-\pd{H}{q} \, ; \, \ddt{q}=\pd{H}{p} \quad\text{avec\ } H=\frac{1}{2}(p^2+q^2)
+\end{equation}
+et $p(0)=p_0$ et $q(0)=q_0$
+\end{exampleblock}
+\end{frame}
+\begin{frame} \frametitle{4 étapes}
+De façon générale, le système s'écrit:
+\begin{equation}
+\ddt{\vec{x}} = \vec{F}(\vec{x}, t)
+\end{equation}
+\begin{enumerate}
+\item Définir les points de discrétisation dans le temps
+\item Exprimer le système sous la forme d'une différence finie
+\item Laisser tomber l'erreur de troncature
+\item Étudier les propriétés : stabilité, convergence, et autres (voir plus loin)
+\end{enumerate}
+\end{frame}
+\begin{frame}\frametitle{1. Discrétisation dans le temps}
+\begin{tikzpicture}
+ \draw[->](-1, 0) -- ( 7, 0);
+ \foreach \i in {0,1,2,3,4,5,6} 
+{ \node  at (\i, 0) {$\bullet$};  } 
+\foreach \i in {0,1, 2} { \draw (\i, -0.5) node {$t_\i$}; } 
+\foreach \i in {6}{ \draw (\i, -0.3) node {$t_n$}; }
+\end{tikzpicture}
+
+Dans la suite de ce cours, nous allons poser : 
+\begin{itemize}
+\item $t_i$ :  le temps discrétisé \\
+\item $x(t_i)$ :  la solution exacte au temps $t_i$ \\
+\item $x_i$ :  la solution du système en diff. finies au temps $t_i$ \\
+\end{itemize}
+\begin{example}
+\begin{align*}
+t_0 &= t(0)  & 
+t_i &= t_0 + i\dt
+\end{align*}
+\end{example}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle {2. Exprimer le système sous forme de différence finie}
+Posons : $F_i := F(x_i, t_i)$. Le problème est d'établir une relation itérative entre $x_i$ et $x_{i+1}$ en utilisant uniquement de l'information disponible aux $t_i$. On 
+recourt au développement de Taylor. 
+\medskip
+On peut faire:
+\begin{align}
+x(t_{i+1}) &= x(t_i) + F_i k + k\cdot \tau , & \quad \tau &= \dddt {x} (x(t_i),t_i) {k \over 2} + \mathcal{O}(k^2) \label{eq:d1} 
+\end{align} ou bien:
+\begin{align}
+x(t_{i})   &= x(t_{i+1}) - F_{i+1} k + k\cdot\tau, &\quad \tau &= \dddt {x} (x(t_{i+1}),t_{i+1}) {k\over 2} + \mathcal{O}(k^2) \label{eq:d2}
+\end{align}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{\ldots et laisser tomber les termes de troncature}
+
+On crée le système aux différences finies en laissant tomber les termes de troncature:
+
+\begin{definition}
+Le schéma est dit \textit{consistent} si l'itération converge vers l'expression
+du système originel à la limite $k\rightarrow 0$. 
+\end{definition}
+
+\begin{center}
+\colorbox{yellow!20}
+{ \parbox{\textwidth}
+{
+\begin{tabular}{llll} 
+\hline
+Euler avant     & (\ref{eq:d1}) & $x_{i+1} = x_i + F_i \dt$ &  $\tau = \mathcal{O}(k)$ \\ 
+Euler arrière   & (\ref{eq:d2}) & $x_{i+1} = x_i + F_{i+1} \dt$ & $\tau = \mathcal{O}(k)$ \\ 
+Euler centré   & (\eqref{eq:d1} + \eqref{eq:d2}) / 2 &  $x_{i+1} = x_i + F_{i+i/2} k$ & $\tau = \mathcal{O}(k^2)$  \\
+\hline
+\end{tabular}
+où $F_{i+i/2} := {1 \over 2} (F_{i}  + F_{i+1} ) $.
+}}
+\end{center}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Example : décroissance radioactive}
+
+\begin{block}{Euler avant} 
+$x_{i+1} = x_{i} - \dt x_{i} = (1-k) x_{i} \Longrightarrow \color{red}{x_i = (1-\dt)^i}x_0$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Euler arrière} 
+$x_{i+1} = x_{i} - \dt x_{i+1}$ : schéma implicite !
+
+$x_{i+1} = (1+\dt)^{-1} x_{i} \Longrightarrow \color{red}{ x_i = (1+\dt)^{-i}}x_0$
+\end{block}
+
+\begin{block}{Euler centré} 
+$x_{i+1} = x_{i} - {\dt \over 2}(x_{i}+x_{i+1})$ : schéma (semi-implicite)
+
+$x_{i+1} = \frac{1-k/2}{1+k/2} x_{i} \quad \Longrightarrow \quad \color{red}{x_i = \left(\frac{1-k/2}{1+k/2}\right)^i}x_0$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{radio}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{error}
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Etude des propriétés. I. Convergence}
+\begin{block}{Definition} {$\forall t>t_0\, : \, \lim_{k\rightarrow 0} x_i = x(t_i)$} \end{block}
+\begin{exampleblock}{Euler avant, radioactivité : (rappel: $x(t_i) = e^{-t}$)}
+\begin{align*}
+  \log x_{i} &= i \log(1-k) = i ( - k - k^2/2 + \mathcal{O}(k^3) ) = - t - tk/2 + \mathcal{O}(k^3),  \\
+ \Rightarrow x_{i} &= e^{-t (1+k/2)} + \mathcal{O}(k^2).
+\end{align*}
+\end{exampleblock}
+\begin{exercice}
+Dans cet exemple, l'Euler avant sous-estime la quantité de produit radioactif. Montrer que l'Euler arrière le surestime, et que l'Euler centré est correct au premier ordre.
+\end{exercice}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Ordre de grandeur d'approximation du schéma numérique}
+\begin{block}{Règle générale}
+  Si, étant connu $x_i$, l'approximation sur $x_{i+1}$ est de l'ordre de k$\tau$, alors l'erreur sur la solution à un temps $t$ sera (si $t$ n'est pas trop grand) de l'ordre de $T\cdot\tau$. 
+\end{block}
+En effet: à chaque pas de temps on accumule une erreur de l'ordre de $k \tau $, et $T/k$ pas de temps sont nécessaires pour intégrer sur une période $T$. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Étude des propriétés. II. stable}
+\begin{block}{Définition} Le système est dit \emph{A-stable} si les $x_i$ restent bornés dans le problème de décroissance radioactive. \end{block}
+\begin{exampleblock}{Euler avant, radioactivité : }
+stable si $|(1-\dt)|\leq1, \quad \Rightarrow \dt\leq2$. 
+Le schéma est dit  \emph{conditionnellement A-stable}.
+\end{exampleblock}
+\begin{exercice}
+Déterminer les conditions de stabilité de  l'Euler arrière et l'Euler centré.
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame} \frametitle{Etude des propriétés. III. monotone}
+\begin{block}{Definition} si $x(t_i) < x(t_j)$, alors $x_i < x_j$. \end{block}
+\begin{exampleblock}{Euler avant, radioactivité : }
+Monotone si $\dt<1$.
+Le schéma est dit  \emph{conditionnellement monotone}.
+\end{exampleblock}
+\begin{exercice}
+Déterminer la condition de monotonicité pour l'Euler-centré, et montrer que l'Euler arrière est inconditionnellement monotone. 
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame} \frametitle{Etude des propriétés. IV. Conserve l'énergie}
+S'illustre pour l'oscillateur harmonique. Soit $\vec{x}=(p, q)\T$, 
+le problème se formule comme $\ddt {\vec{x}} = M\vec{x}$ où 
+$M:=\left( \begin{array}{cc} 0 &-1\\1 &0 \end{array}  \right)$. 
+
+Le problème discrétisé s'écrit
+\begin{equation*}
+\vec{x}_{i+1} = M_d \vec{x}_i\quad \text{avec}
+\end{equation*}
+Euler avant : $M_d=(1+M\dt)$; Euler arrière : $M_d=(1-M\dt)^{-1}$ ; 
+Euler centré : $M_d=(1-Mk/2)^{-1}(1+M\dt/2)$.
+
+Sachant que le Hamiltonien est ici $\frac{1}{2}x\T x$, l'énergie
+augmente de $\vec{x}_i$ à $\vec{x}_{i+1}$ d'un facteur ${M_d}\T M_d$.
+Cette matrice doit donc être égale à la matrice identité dans un schéma conservatif. 
+
+\begin{exercice}
+Vérifier que le schéma Euler avant crée de l'énergie; que l'Euler arrière en détruit;
+et que seul l'Euler centré est conservatif. Illustrer ces propriétés en intégrant le système.
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{numerictip}
+L'opération $M^{-1} x$  (inverse d'une matrice $\times$ vecteur, ou inverse d'une matrice $\times$ matrice) s'effectue efficacement au moyen du package \texttt{LAPACK}, implémenté dans la plupart des langages interprêtés destinés au calcul scientifique:
+\medskip
+\begin{tabular}{ll}
+\hline
+matlab / octave : & \texttt{M  $\setminus$ x} \\
+R  : & \texttt{ solve(M, x) } \\
+numpy / scipy : & \texttt{ np.solve(M, x) }  \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{numerictip}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{oscillateur_euler}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma leapfrog}
+\begin{block}{Idée}
+Mimer le schéma centré, mais selon un schéma explicite à deux pas de temps
+\begin{equation}
+x_{i+1} = x_{i-1} + 2\dt F(x_i)
+\end{equation}
+\end{block}
+
+nécessite d'initialiser $x_0$ et $x_1$.
+
+\begin{exercice}
+Démontrer que le schéma leapfrog est instable dans le problème de décroissance radioactive. 
+Indice : tenter une solution $x_i = \alpha^i$ et chercher les solutions pour $\alpha$. 
+Le schéma est instable si $|\alpha|>1$. 
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{radio_leapfrog}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma de Heun (RK2)}
+\begin{block}{Idée}
+Approximer $F_{i+1}$ par $\tilde{F}_{i+1} := F(x_i + k F(x_i), t_{i+1})$. Peut se réecrire comme:
+\begin{align*}
+\tilde{x}_{i+1} &= x_i + \dt F_i \\
+x_{i+1} &= x_i + {k \over 2}\left(F\left(x_i, t_i \right) + F\left(\tilde{x}_{i+1}, t_{i+1}\right)\right),
+\end{align*}
+qui fait apparaître la notion \emph{prédicteur - correcteur}.
+\end{block}
+%
+\begin{exercice}
+Développer $\tilde{F}_{i+1}$ en série autour de $F(x_i)$ et montrer que la méthode de Heun est
+convergente à l'ordre 2 en k.
+\end{exercice}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)}
+\begin{align*}
+k_1 &= k\cdot F_i \\
+k_2 &= k\cdot F(x_i + k_1/2, t_i + k/2) \\
+k_3 &= k\cdot F(x_i + k_2/2, t_i + k/2) \\
+k_4 &= k\cdot F(x_i + k_3, t_i + k) \\
+x_{i+1} &= x_i + {1\over 6}\left( k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4 \right)
+\end{align*}
+\begin{block}{propriétés}
+\begin{itemize}
+\item Explicite
+\item Conditionnellement stable
+\item Troncation d'ordre 5; solution convergente à l'ordre 4.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+%
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{error_withRK4}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{exercice}
+L'équation logistique :
+\begin{equation}
+\ddt {x} = \lambda x ( 1-x)\, \quad x{0}=\alpha 
+\end{equation}
+a pour solution exacte:
+\begin{equation}
+x(t) = \frac{\alpha}{\alpha +   (1 - \alpha ) e^{-\lambda t }}.
+\end{equation}
+Comparer les erreurs des schémas explicites Euler avant, Heun et RK4 pour différents pas de temps comme sur la figure précédente. 
+
+Le schéma Euler arrière peut s'établir analytiquement pour l'équation logistique, mais cela implique de résoudre, à chaque pas de temps, une équation du second degré,\ldots qui a donc deux solutions. Laquelle des deux solutions retenir?
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Erreurs d'arrondi (erreur machine)}
+\begin{numerictip}  
+Dans l'opération $a+b$, $|log_2(a)-log_2(b)|$  doit être plus grand que $m$, où
+$m$ est le nombre de bits réservés pour la mantisse:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{l|l|l}
+type & m & $ log_{10} (2^m)$\\
+\hline
+float16 & 10 &  $3.0 $\\
+float32 & 23 & $6.9 $\\
+float64 & 52 & $15.6$\\
+float128& 64 & $19.2$\\
+float256 & 112 & $33.7$ \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{numerictip}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{rounding_error}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame} \frametitle{Schémas symplectiques}
+Reprenons l'oscillateur harmonique, et considérons :
+\begin{exampleblock}{Le schéma Verlet}
+\begin{align*}
+\tilde{p}_{i+1} &= p_i - \dt  q_i \\
+q_{i+1} &= q_i + {\dt\over 2} (p_i + \tilde{p}_{i+1} ) \\
+p_{i+1} &= p_i - {\dt\over 2} (q_i + q_{i+1} ) 
+\end{align*}
+\end{exampleblock}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{oscillateur_energy1}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{oscillateur_energy2}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Méthode symplectique = respecte la géométrie du problème}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{tikzpicture}
+ \draw [-open triangle 60] (-0.5, 0) -- (3, 0) node [below] {$q$}; 
+ \draw [-open triangle 60] ( 0, -0.5) -- (0, 3) node [left] {$p$}; 
+
+ \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) node [below] {$x^a_{i}$} -- (1.3, 2.7) node [left] {$x^b_{i}$}; 
+ \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) -- (2.5, 0.9) node [right] {$x^c_{i}$}; 
+ \draw [dashed] ( 2.5, 0.9) -- (3.3, 2.9) -- (1.3, 2.7) ; 
+\end{tikzpicture}
+
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{tikzpicture}
+ \draw [-open triangle 60] (-0.5, 0) -- (3, 0) node [below] {$q$}; 
+ \draw [-open triangle 60] ( 0, -0.5) -- (0, 3) node [left] {$p$}; 
+
+ \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) node [below] {$x^{a}_{i+1}$} -- (1.3, 2.2) node [left] {$x^{b}_{i+1}$}; 
+ \draw [-open triangle 60] ( 0.5, 0.7) -- (3.0, 0.9) node [right] {$x^{c}_{i+1}$}; 
+ \draw [dashed] ( 3.0, 0.9) -- (3.8, 2.4) -- (1.3, 2.2) ; 
+\end{tikzpicture}
+\end{columns}
+Le schéma symplectique conserve l'aire des parallélogrammes (dans une métrique donnée)
+\begin{theorem}
+Soit $p_{i+1}=f(p_i, q_i)$ et $q_{i+1}=g(p_i, q_i)$. Alors le schéma est symplectique ssi
+$\left| \begin{array}{cc}f_p & f_q \\ g_p & g_q \end{array}\right|=1, \ \forall{p, q}.$
+\end{theorem}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\begin{exercice}
+Montrer que la méthode de Heun n'est pas symplectique pour l'oscillateur Harmonique; mais que la méthode de Verlet l'est bien.
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+
+
diff --git a/diffusion.tex b/diffusion.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..0cc60a3419522eb10263f1582623c601aad0a40e
--- /dev/null
+++ b/diffusion.tex
@@ -0,0 +1,244 @@
+
+\section{Equation de diffusion}
+\begin{frame}
+\frametitle{Définition}
+La forme générale de l'\'equation de diffusion s'écrit:
+\begin{equation}
+a(x, t) \pdxx{u} + b(x, t) \pdx{u} + c(x, t) u = \pdt u + f(x, t), \quad
+\text{pour } \left\{ \begin{array}{l} 0 < x < \ell, \\ 0 < t. \end{array} \right..
+\label{eq:chaleur}
+\end{equation}
+Nécessite des conditions initiales \emph{et} des conditions aux frontières. 
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\begin{example}
+L'équation de la chaleur (adimensionnelle) se réduit à $a(x, t) = 1$; $b=c=f=0$. \\
+Si on admet, pour conditions ($\ell = 1$):
+$$u(0, t)= u(1, t)=0 \quad \text{ pour }\ t>0\text{, et} $$
+$$u(x, 0) = g(x), \quad \text{pour } 0 \leq x \leq 1, $$
+alors le système admet pour solution \footnote{truc: écrire $u=A(x)C(t)$}:
+\begin{equation}
+u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\lambda_n^2 t} \sin (\lambda_n x),
+\label{}
+\end{equation}
+où $\lambda_n=n\pi$ et $A_n = 2 \int_0^{1} g(x) \sin (\lambda x)\, \d x$
+\end{example}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\begin{exercice}
+\label{eqchal}
+Déterminer les solutions analytiques de l'équation de la chaleur adimensionnelle définie page prédente, pour
+\begin{enumerate}
+\item $g(x) = \sin(2\pi x)$, 
+\item $g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1\quad & \text{si \ } a \leq x \leq b, \\ 0 & sinon. \end{array} \right.$
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+\begin{block}{Propriétés de l'équation de la chaleur}
+\begin{itemize}
+\item La solution est continuement dérivable à l'intérieur des frontières
+\item Les minima et maxima se trouvent aux frontières, soit latérales, soit en $t=0$.
+\item L'information se propage instantanément (illustration: cas 2. de l'exercice ci-dessus)
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Résolution en 4 étapes}
+\begin{enumerate}
+\item Définir les points de discrétisation
+\item Estimer le système en ces points
+\item Le formuler en différences finies
+\item Éliminer les termes de troncature
+\end{enumerate}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{1. Discrétisation}
+\begin{tikzpicture}[xscale=1.3]
+\draw [->] (-0.2, 0) -- (4.8, 0) node [yshift=-1em] {$x$} ; 
+\draw [->] (0, -0.2) -- (0, 4.8) node [xshift=-1.5em] {$t$} ;
+\foreach \i in {1, 2, 3}
+ { 
+ \draw (\i, 0) node [yshift=-1em] {$x_\i$} -- (\i, 4) ; 
+ \draw (0, \i) node [xshift=-1.5em] {$t_\i$} -- (4, \i) ; 
+ \foreach \j in {1, 2, 3, 4}
+  { \node at (\i, \j)  [shape=circle, draw, color=black] {} ; }
+  }
+  \draw ( 4, 0) node [yshift=-1em] {$\ell$} -- ( 4, 4) ; 
+  \draw ( 0, 4) node [xshift= -1.5em] {$t_4$} -- ( 4, 4) ; 
+
+  \foreach \j in {0,1, 2, 3,4}
+  { \node at (\j, 0 )  [shape=circle, draw, color=black, fill=black!30] {} ; 
+    \node at (0 , \j)  [shape=circle, draw, color=black, fill=black!30] {} ; 
+    \node at (4 , \j)  [shape=circle, draw, color=black, fill=black!30] {} ; }
+
+\end{tikzpicture}
+
+Pour un grille régulière, on aura $t_j = j \dt$ et $x_i = i h $. 
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{2. : exprimer le système aux points de grille}
+Nous reprenons l'équation de la chaleur, cette fois non-homogène :
+\begin{equation*}
+\pdxx{u} = \pdt{u} + f(x, t),
+\end{equation*}
+avec $u(0, t) = u(1, t) = 0$; $u(x, 0) = g(x)$, et nous adoptons pour notation: \\
+$u_t := \pdt{u}$, $u_x := \pdx{u}$, $u_{xx} := \pdxx{u}$ etc. 
+
+\bigskip
+
+Le système discrétisé est donc : 
+\begin{equation}
+u_{xx} (x_i, t_j) = u_t (x_i, t_j) + f (x_i, t_j)
+\label{}
+\end{equation}
+
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{3. Exprimer le système sous forme de différence finie}
+On choisit un schéma centré dans l'espace:
+\begin{align*}
+u_{xx}(x_i, t_j) &= \frac{u(x_{i+1}, t_j) - 2u (x_i, t_j) + u(x_{i-1}, t_j)}{h^2} + \mathcal{O}(h^2)
+\end{align*}
+et Euler avant dans le temps:
+\begin{align*}
+u_t(x_i, t_{j}) &= \frac{u(x_i, t_{j+1}) - u (x_i, t_{j})}{k} + \mathcal{O}(k)
+\end{align*}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{4. \ldots et on laisse tomber les termes de troncature.}
+Posons $\lambda = k / h^2$, on a:
+\begin{equation}
+u_{i, j+1} = \lambda u_{i+1, j} + (1-2\lambda) u_{i,j} + \lambda u_{i-1, j} - k f_{i,j},
+\label{}
+\end{equation}
+ce qui peut s'écrire sous la forme 
+\begin{align*}
+\vec{u}_0 &= \vec{g}  \\
+\vec{u}_{j+1} &=  (1-\vec{H})\vec{u}_{j} - k \vec{f}_j, \quad \text{pour\ }j = 1\ldots M-1\\
+\end{align*}
+\begin{columns}
+\column{0.35\textwidth}
+où : 
+\begin{align*}
+ \vec{u}_j &= (u_{1, j}, u_{2, j}, \ldots , u_{N, j} ) \\
+ \vec{f}_j &= (f_{1, j}, f_{2, j}, \ldots , f_{N, j} )  \\
+ \vec{g} &= (g_{1}, g_{2}, \ldots , g_{N} )  \\
+\end{align*}
+\column{0.55\textwidth}
+et $\vec{H}=\left( 
+\begin{array}[h]{cccc}
+  2\lambda &  -\lambda  &          &           \\
+
+-\lambda    &  2\lambda & -\lambda  &           \\
+
+           &\ddots     & \ddots    & \ddots    \\
+
+           &           &-\lambda    &  2\lambda   \\
+
+\end{array}
+\right)$
+\end{columns}
+\end{frame}
+\def\stencil{
+ \draw [-] (-1.8, 0) node [left] {$t_j$} -- (1.8, 0); 
+ \draw [-] (-1.8, 1) node [left] {$t_{j+1}$} -- (1.8, 1); 
+ \draw [-] (-1, -0.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i-1}$} -- (-1, 1.5 ); 
+ \draw [-] (0, -0.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i}$} -- (0, 1.5 ); 
+ \draw [-] (1, -0.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i+1}$} -- (1, 1.5 ); 
+ \node at (0,1)  [shape=circle, draw, color=black] { } ; 
+ }
+
+
+\begin{frame}
+Le \emph{stencil} représente les points dont dépend le calcul du $u_{j+1, i}$:
+\begin{tikzpicture} 
+ \stencil
+ \foreach \i in {-1, 0, 1} {\node at (\i,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; } 
+\end{tikzpicture}
+
+Le système qui nous occupe est donc \emph{explicite.}
+Ce schéma Euler avant de l'équation de la chaleur admet une solution analytique  si $\vec{f}=0$:
+
+\framebox[\textwidth]
+{
+si $\vec{u}_0=w_0 e^{rx\dot\imath}$, alors
+$\vec{u}_n=(1-q)^n \vec{u}_0$, où $q=4\lambda \sin^2\left( \frac{rh}{2} \right)$.
+}
+
+($\icmplx:= \sqrt{-1}$)
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+
+\renewcommand\arraystretch{2.4} 
+\begin{tabular}{l|l|l}
+%\setlength\minrowclearance{2.4pt}
+\textbf{schéma} & \textbf{Itération} & \textbf{Solution analytique$^\star$ }\\
+\hline
+E. avant & $\vec{u}_{j+1} =  (1-\vec{H})\vec{u}_{j}  $ & $\vec{u}_n=(1-q)^n \vec{u}_0$  \\
+\hline
+E. arrière & $(1+\vec{H})\vec{u}_{j+1} =  \vec{u}_{j} $ & $\vec{u}_n=(1+q)^{-n} \vec{u}_0 $  \\
+\hline
+CN & $(1+\vec{H}/2)\vec{u}_{j+1} =  (1-\vec{H}/2)\vec{u}_{j} $ & $\vec{u}_n=\left(\frac{1-q/2}{1+q/2}\right)^n \vec{u}_0$  \\
+\end{tabular}
+\renewcommand\arraystretch{1.2} 
+\bigskip
+\begin{tabular}{ll}
+E. avant : & Euler avant \\
+E. arrière : & Euler arrière \\
+CN : & Crank - Nicholson 
+\end{tabular}
+
+$\star: $ solution pour $\vec{u}_0 = w_0 e^{rx\icmplx}$ 
+
+\begin{exercice}
+Lesquelles de ces méthodes préservent la propriété de propagation instantanée ?
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Stabilités A et L}
+Définissons $k(q)$ tel que $\vec{u}_{i+1} = k \vec{u}_{i} $, $\vec{u}_{0}=w_0 e^{\icmplx rx}$:
+\begin{definition}
+Une méthode est dite \emph{L-stable} si $\lim_{q\rightarrow \infty} k(q) = 0$
+\end{definition}
+\begin{exercice}
+Discutez les stabilités A (i.e.: solution bornée) et L des trois méthodes ci-dessus. Illustrez votre réponse en codant l'équation de la chaleur et en la résolvant et montrant la solution à $t=0.1$, $N=12$, $\lambda=0.5, 1.5, 2.5$ et pour la fonction $g$ telle que définie dans l'exercice \ref{eqchal} cas 2, avec $a=\frac{1}{4}$ et $b=\frac{3}{4}$. 
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+%\begin{frame}
+%\includegraphics{heat_0.pdf}
+%\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{heat_1.pdf}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{heat_xl_1.pdf}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+\includegraphics{heat_xl_2.pdf}
+\end{frame}
+
+%\begin{frame}
+%\includegraphics{heat_3d.pdf}
+%\end{frame}
+ 
+
+\begin{frame}
+\begin{exercice}
+  Considérez l'équation $u_t = D u_{xx} - bu$, où $D$,$b$ sont des constantes positives, $u(0,t)=u(1,t)=0$ et $u(x,0)=g(x)$.
+\begin{enumerate}
+  \item Montrez que la solution exacte est $u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-(b+D\lambda_n^2)t} \sin(\lambda_n x)$, où $\lambda_n=n\pi$ et $A_n$ sont les coefficients de Fourier $A_n=2\int_0^1 g(x)\sin(\lambda_n x)\,\mathrm{d} x$. 
+  \item Cherchez un schéma \emph{implicite} en différence finie d'erreur $\mathcal{O}(h^2)+\mathcal{O}(k)$. Exprimez le résultat sous forme matricielle. Quel est l'intérêt d'un schéma implicite dans ce contexte\ ?
+  \item Déterminez la condition de stabilité.
+  \item Dans le cas où $g(x)=\sin(\pi x)$, $D=0,1$ et $b=1$, imposez $\lambda=0,4$ et tracez l'erreur maximale au temps $t=1$ en fonction du nombre de pas de temps $M=4,16,64,256,1024$ (en log-log). Superposez ensuite à ce graphe les résultats obtenus pour $\lambda=0,04$.  Qu'observez-vous ? 
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+
diff --git a/introduction.tex b/introduction.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..3749111d75926d8a41ed2c9fddd8aa1d8d1d798d
--- /dev/null
+++ b/introduction.tex
@@ -0,0 +1,182 @@
+\section{Introduction}
+\begin{frame}
+  \frametitle{Simulation: Définition (dans notre contexte) ! }
+  \colorbox{blue!10}{\parbox[l]{\textwidth}
+  {\raggedright\Large\bf{
+  Résolution algorithmique d'un modèle (physique, chimique, biologique, économique \ldots) \emph{compliqué}.
+  }
+  }
+  }
+ 
+  \begin{example}
+    \url{https://github.com/navidcy/}
+  \end{example}
+
+
+  \begin{block}{Algorithme et equadiff}
+    Ce cours part du principe que des \emph{modèles} physiques (que nous allons considérer) sont exprimés sous la forme d'équations différentielles. Notre problème sera donc de réexprimer ces équations sous une forme algorithmique que nous estimons cohérente.
+  \end{block}
+
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \begin{tabular}{cc}
+    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_1.jpg} & 
+    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_2.jpg} \\ 
+    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_3.jpg} & 
+    \includegraphics[width=5cm]{Images/Figure_4.png} \\ 
+  \end{tabular}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Épistémologie de la simulation}
+
+  \begin{itemize}
+    \item Simulateur = dispositif expérimental pour lequel il n'y a pas d'erreur de mesure
+    \item Il répond à des spécifications (on exige de lui qu'il ait certaines propriétés)
+    \item Sources d'incertitudes spécifiques, \emph{qu'il faut évaluer}:
+      \begin{enumerate}
+        \item Choix de représentation physique (modèle)  
+        \item Choix d'adaptation au cas particulier
+        \item Choix algorithmiques (nombreux et complexes)
+        \item Erreurs de codage  
+      \end{enumerate}
+    \item Role important des outils de visualisation et de post-traitement
+      \begin{itemize}
+        \item partie intégrante du processus de simulation
+      \end{itemize}
+    \item Beaucoup de codes sont tellements compliqués qu'ils ne sont pas maîtrisés par un seul individu
+  \end{itemize}
+
+\end{frame}
+\begin{frame}
+  \includegraphics{Images/Winsberg}
+  \begin{reference}
+    Eric Winsberg, Sanctioning Models: The Epistemology of Simulation,  Science in Context, 12, 275-292  1999  
+  \end{reference}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Contextes de simulation numérique}
+  \begin{enumerate}
+    \item Résolution d'équations différentielles
+      \begin{enumerate}
+        \item aux dérivées ordinaires (implique : conditions initiales)
+        \item aux dérivées partielles (implique : conditions frontières)
+        \item peuvent être stochastiques
+      \end{enumerate}
+    \item Problèmes d'optimisation (souvent définis comme des problèmes inverses)
+    \item Générer des distributions de probabilité
+  \end{enumerate}
+%  \begin{exercice}
+%    Citer un exemple pour chacun des trois cas de figure
+%  \end{exercice}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Simple ou compliqué ?}
+  \begin{enumerate}
+    \item Élement d'une démarche théorique
+      \begin{itemize}
+        \item Étude des propriétés émergentes
+        \item Identification d'attracteurs; de points d'(in)stabilité
+        \item Mise à l'épreuve de différents modèles
+      \end{itemize}
+    \item Substitut à un système naturel
+      \begin{itemize}
+        \item Expériences d'intervention impossibles à réaliser ou trop coûteuses
+        \item Générer des données difficiles à mesurer
+        \item Prévision / Prédiction
+      \end{itemize}
+  \end{enumerate}
+  \begin{block}{Conflit potentiel}
+    (1) va vers la simplification / parsimonie. (2) va vers le haut niveau de détail; fidélité au phénomène naturel. 
+  \end{block}
+\end{frame}
+
+
+
+\begin{frame}
+  $\exists$ Déterministe ou Stochastique \newline
+  Déterministe  $\quad <> \quad $ Stochastique\newline
+  \vskip0.5em
+  \begin{block}{Simulateurs stochastiques: bien comprendre !}
+    Nos ordinateurs sont \textit{toujours} déterministes : \newline
+    Les simulateurs stochastiques utilisent des générateurs de pseudo-nombres
+    aléatoires\ldots \emph{qu'il faut évaluer} ! \newline
+  \end{block}
+\end{frame}
+\begin{frame}{Approches de programmation}
+Les informaticiens sont là pour établir des codes fiables, rapides, vérifiées. Mais c'est le job du physicien de spécifier les critères dont dépendent la cohérence physique. 
+
+Il existe des dizaines de languages de programmation ! \emph{Vous êtes libre d'utiliser celui que vous voulez.}
+
+\begin{itemize}
+\item \emph{Procédural} (Fortran) ou \emph{fonctionnel} (LISP, Haskell)
+\item \emph{Impératif} (C) ou \emph{déclaratif} (Prolog, SQL)
+\item \emph{Orienté objet} (Python, Ruby, php) ou non (Fortran)
+\item \emph{Bas niveau} (Assembleur, C) ou \emph{Haut niveau} (Python, R, Julia)
+\item \emph{Concurrent} (Fortran + MPI, R (packages parallel),  Julia)
+\item \emph{Ancien} (Algol) ou très \emph{récent} (Julia)
+\item \emph{Commercial} (MATLAB) ou \emph{Libre} (Octave)
+\item \ldots
+\end{itemize}
+
+Voir : \url{http://rosettacode.org} et amusez-vous ! 
+%  \begin{itemize}
+%    \item Languages compilés : excellente optimisation
+%      \begin{itemize}
+%        \item C, C++, Fortran
+%      \end{itemize}
+%    \item Languages interprétés : flexibles et conviviaux
+%      \begin{itemize}
+%        \item \R, \texttt{python} (\texttt{numpy, scipy})  
+%        \item Systèmes commerciaux : Matlab, Mathematica \ldots
+%        \item et clones (octave)
+%      \end{itemize}
+%    \item + Librairies standards, optimisées
+%      \begin{itemize}
+%        \item  gsl
+%        \item  LAPACK, BLAS, UMFPACK
+%        \item \ldots souvent présentes dans les langagues interprétés
+%      \end{itemize}
+%  \end{itemize}
+%  \begin{block}{Mon principe}
+%    Favoriser les sytèmes open source (communauté internet) permettant des 
+%    inclusions de code compilé pour les parties critiques. Mes favoris: \R \ et \texttt{numpy / scipy}
+%  \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{La documentation et le caractère reproductif des codes}
+  \includegraphics{Images/mybinder.jpeg}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{L'examen}
+ \begin{itemize}
+   \item  Vous  allez former des groupes de 2. 
+   \item  En semaine 4, nous vous communiquerons 4 ou 5 problèmes avec des consignes détaillées (méthodes diff. finies)
+   \item  Idem en semaine 8, pour un deuxième problème (méthodes spectrales)
+   \item  Chaque problème ne peut être pris que par trois groupes différents. 
+   \item  Le jour de l'examen (session de juin):
+     \begin{itemize}
+       \item Chaque groupe me remet un rapport répondant aux consignes (5 à 10 pages)
+       \item Il y aura trois sessions de deux heures, pendant lesquelles chaque groupe présente, en 15 minutes, son travail
+         aux autres groupes présents pendant la session.
+     \end{itemize}
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+  \frametitle{Ouvrage de référence}
+  \begin{columns}
+    \column{.3\textwidth} \includegraphics[scale=2]{refbook}
+    \column{.7\textwidth} 
+     Introduction to Numerical Methods in Differential Equations \\
+     Mark H. Holmes \\ Springer Texts in Applied Mathematics (52)
+
+  \end{columns}
+\end{frame}
+
+
diff --git a/onde.tex b/onde.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..0fe6329c0d56f971c69345e15bf9602e407d7776
--- /dev/null
+++ b/onde.tex
@@ -0,0 +1,273 @@
+
+\section{Équation d'onde}
+\begin{frame}
+\frametitle{Définition}
+\begin{equation}
+\pdd{u}{t} = c^2 \pdd{u}{x},
+\label{}
+\end{equation}
+avec, pour conditions initiales : $u(x,0)=f(x)$ et $\ddt{u}(x,0) = g(x)$.
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Résolution selon Fourier}
+Soit: $y=\hat{y}e^{\icmplx (kx-\omega t)}$ : $\omega^2 = c^2 k^2$
+\begin{equation}
+\Rightarrow y = \hat{y} e^{\icmplx k(x\pm ct)}
+\label{}
+\end{equation}
+Si on pose, plus généralement: $\omega = \omega_r + \icmplx \omega_i$, on a:
+$$y=\hat{y}e^{-\omega_it } e^{\icmplx kx-\icmplx \omega_r t}$$
+\begin{enumerate}
+\item $\omega_i =0$ : système non-dissipatif (serait instable pour $\omega_i < 0$)
+\item $\omega/k = \dd{\omega}{k} = c$ : système non-dispersif
+\end{enumerate}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\frametitle{Résolution selon décomposition d'Alembert}
+Observez que:
+\begin{equation}
+(\pdd{}{t} - c^2 \pdd{}{x}) = (\pd{}{t} + c \pd{}{x}) (\pd{}{t} - c \pd{}{x}) 
+\end{equation}
+Il suffit alors de définir: $r=x+ct$ et $s=x-ct$, tels que:
+\begin{equation*}
+  \pd{}{r}=\frac{1}{2c}\left( \pd{}{t} + c\pd{}{x}\right);\quad\quad \pd{}{s}=-\frac{1}{2c}\left(\pd{}{t} - c\pd{}{x}\right);
+\end{equation*}
+De sorte que l'équation se ramène à : $\pd{}{r}\left( \pd{}{s} u \right) = 0$,
+qui a pour solution, une fois les conditions initiales prises en compte
+\begin{equation}
+u(x,t)= \frac{1}{2}f(x-ct) + \frac{1}{2}f(x+ct) +  \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(z)\, \d z
+\end{equation}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+\frametitle{Schéma centré en temps et espace}
+En prenant:
+\begin{align*}
+u_{xx} &= \frac{u_{i+1,j} -  2 u_{i,j} +  u_{i-1,j} } {h^2} + \mathcal{O}(h^2) \\
+u_{tt} &= \frac{u_{i,j+1} -  2 u_{i,j} +  u_{i,j-1} } {k^2} + \mathcal{O}(k^2) 
+\label{}
+\end{align*}
+On a:
+\begin{equation*}
+u_{i,j+1} = \lambda^2 u_{i+1,j} + 2 (1-\lambda^2)u_{i,j} + \lambda^2 u_{i-1,j} -  u_{i,j-1}  + k^2\tau_{ij}
+\label{}
+\end{equation*}
+où $\tau_{i,j}=\mathcal{O}(h^2) + \mathcal{O}(k^2)$ est l'erreur de troncature et 
+$\lambda = \frac{ck}{h}$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+  \frametitle{Stencil et condition CFL}
+  \begin{columns}
+ \column{.4\textwidth}
+\begin{tikzpicture}
+  \draw [-] (-1.8, -1) node [left] {$t_{j-1}$} -- (1.8, -1); 
+ \draw [-] (-1.8, 0) node [left] {$t_j$} -- (1.8, 0); 
+ \draw [-] (-1.8, 1) node [left] {$t_{j+1}$} -- (1.8, 1); 
+ \draw [-] (-1, -1.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i-1}$} -- (-1, 1.5 ); 
+ \draw [-] (0, -1.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i}$} -- (0, 1.5 ); 
+ \draw [-] (1, -1.5) node [yshift=-1.5em] {$x_{i+1}$} -- (1, 1.5 ); 
+ \node at (0,1)  [shape=circle, draw, color=black] { } ; 
+ 
+
+ \node at ( 0,-1)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( -1,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 0,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 1,0)  [shape=circle, draw, fill=black!30] { } ; 
+ \node at ( 0,1)  [shape=circle, draw] { } ; 
+\end{tikzpicture}
+ \column{.4\textwidth}
+    Condition CFL: 
+    \begin{equation*}
+      \frac{ck}{h}\leq 1
+      \label{}
+    \end{equation*}
+  \end{columns}
+ \end{frame}
+
+ \begin{frame}
+   \frametitle{Analyse de stabilité}
+   Considérons une solution de la forme
+   \[ u_{i,j} = w_j e^{\icmplx rx_i} \]
+   Substituée dans l'équation numérique, on a :
+   \[ w_{j+1} - 2 s w_j + w_{j-1}=0,\text{avec}\quad s = 1 - 2\lambda^2 \sin^2(rh/2) \]
+   Il s'agit d'une équation aux différences, que l'on peut tenter de résoudre en essayant $w_j = \kappa^j$.
+   On trouve : 
+   \[ \kappa^2 - 2 s \kappa + 1 = 0, \] soit
+
+   \[ \kappa_{\pm} = s \pm \sqrt {s^2 - 1}. \]
+
+
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+   \frametitle{Analyse de stabilité (ii)}
+   On veut que les deux solutions $|\kappa_{\pm}| \leq 1$, ce qui donne:
+
+   \[  -1 \leq s \leq 1,\text{i.e.}\quad  \lambda^2 \sin^2\left( \frac{rh}{2} \right) < 1 \]
+
+   Le cas le moins favorable se manifeste quand l'argument du sinus $=\pi/2$, i.e., $rh=n\pi$. Dans ce cas, la condition se ramène à $\lambda \leq 1$, ce qui
+   est la condition CFL:
+
+    \[   \frac{ck}{h} \leq 1 \]
+ \end{frame}
+
+ \begin{frame}
+   \frametitle{Onde plane}
+   L'onde plane 
+   \begin{equation*}
+     u(x,t) = e^{i(\bar k x - \bar \omega t)}
+     \label{}
+   \end{equation*}
+   est une solution classique de l'équation d'onde, dont
+   on connait la relation de dispersion: $\bar\omega^2 = c^2 \bar k^2$. 
+  Voyons comment elle se comporte dans le système numérique:
+  \begin{equation*}
+    e^{-\icmplx k \bar \omega} = \lambda^2 e^{\icmplx h \bar k} + 2(1-\lambda^2) 
+    + \lambda^2 e^{-\icmplx h \bar k} - e^{\icmplx k\bar\omega},
+    \label{}
+  \end{equation*}
+
+  ce qui, après un peu de calcul (et $2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = 1 - \cos\theta$):
+  \begin{equation*}
+    \sin\left( \frac{\bar \omega k}{2} \right)= \pm \lambda \sin \left( \frac{\bar k h}{2} \right).
+    \label{}
+  \end{equation*}
+
+ \end{frame}
+
+ \begin{frame}
+   \frametitle{Vitesses de phase et de groupe numériques}
+   \begin{eqnarray*}
+     v_{phn} & \approx \pm c \left( 1 - \dfrac{1}{12}(1-\lambda^2)(\bar k h)^2 \right) \\[2em]
+     v_{gn} & \approx \pm c \left( 1 - \dfrac{1}{8}(1-\lambda^2)(\bar k h)^2 \right)
+     \label{}
+   \end{eqnarray*}
+
+ \end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+  \begin{exercice}
+  Nous allons considérer une équation d'onde amortie:
+  \begin{displaymath}
+    u_{tt} + u_t = u_{xx},
+  \end{displaymath}
+  avec pour conditions initiales: $u(x,0) = f(x)$ et $u_t(x,0) = g(x)$. 
+  \begin{enumerate}
+    \item Fournissez une approximation en différences finies valable à l'ordre $\mathcal{O}(h^2)+\mathcal{O}(k^2)$, 
+      et qui satisfasse la condition CFL,
+    \item Quelles sont les conditions de stabilité sur $h$ et $k$,
+    \item Dans la région de stabilité, les schéma est-il dissipatif, dispersif ? Qu'en est-il de l'équation originelle ? 
+    \item Réalisez une simulation en choisissant les conditions initiales $f(x) = \exp (-2x^2)$ et $g(x) = 0$. 
+  \end{enumerate}
+\end{exercice}
+\end{frame}
+
+%\end{document}
+%\section{Exercices d'examen}
+%\begin{frame}
+%  \frametitle{Mécanique Céleste}
+%
+%  \def\half{ {1\over2}  }
+%\begin{exampleblock}{Le schéma St\o rmer-Verlet}
+%\begin{align*}
+%  \vec{p}_{i+\half} &= \vec{p}_i - \frac{\dt}{2}  \frac{\partial H}{\partial \vec{q}}(\vec{q}_i, \vec{p}_{i+\half}) \\
+%  \vec{q}_{i+1} &= \vec{q}_i + {\dt\over 2}  
+%   \left[ 
+%  \frac{\partial H}{\partial \vec{p}}(\vec{q}_i, \vec{p}_{i+\half})  + 
+%  \frac{\partial H}{\partial \vec{p}}(\vec{q}_{i+1}, \vec{p}_{i+\half})  
+%   \right]
+%   \\
+%  \vec{p}_{i+1} &= \vec{p}_{i+\half} - {\dt\over 2} 
+%     \left[
+%     \frac{\partial H}{\partial \vec{q}}(\vec{q}_{i+1}, \vec{p}_{i+\half}) 
+%     \right] 
+%\end{align*}
+%\end{exampleblock}
+%
+%\begin{exerciceexamen}
+%  \small
+%  En partant de conditions initiales réalistes, calculez l'évolution de l'orbite
+%  de Jupiter pour les 5000 prochaines années. \\
+%  Tenez-compte d'abord de Jupiter et le Soleil. Tenez-compte ensuite de Saturne. \\
+%  Comparez les résultats obtenus avec les schémas de Heun, de Verlet et St\o rmer-Verlet. Les deux premiers schémas ont été vus au  cours. Concentrez votre analyse sur les invariants du système (intégrales premières).
+%\end{exerciceexamen}
+%
+%\end{frame}
+%
+%\begin{frame}
+%  \frametitle{Équation de Klein-Gordon}
+%
+%  \begin{exampleblock}{Contexte physique}
+%    L'équation de Klein-Gordon  est une forme relativiste de l'équation de Schröninger. Sa formulation
+%    physique est 
+%    \begin{equation}
+%      \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2\psi + \frac{m^2c^2}{\hbar}\psi = 0
+%    \end{equation}
+%    Nous en reprenons la version adimensionnelle, simplifiée dans une dimension de l'espace: 
+%    \begin{equation}
+%      c^2 u_{xx} = u_{tt} + bu 
+%    \end{equation}
+%    où $c$ et $b$ sont strictement positives. 
+%\end{exampleblock}
+%
+%\end{frame}
+%\begin{frame}
+%Considérons les conditions initiales classiques $u(0,t)=u(\ell,t) = 0$ et $u(x,0)=f(x)$ et par
+%ailleurs, posons $u_t(x,0)=0$. La solution est : 
+%
+%\begin{equation}
+%  u(x,t)= \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(\lambda_n x)\cos\left( t\sqrt {b + \lambda_n^2 c^2 }\right), 
+%\end{equation}
+%
+%
+%avec $\lambda_n = n\pi$ et $a_n = 2 \int_0^1 f(x) \sin(\lambda_n x)\, \mathrm{d}x$. 
+%\end{frame}
+%\begin{frame}
+%\begin{exerciceexamen}
+%  \begin{enumerate}
+%  \tiny
+%    \item Développez une approximation du problème en différences finies. Soignez les conditions initiales, de telle façon que les approximations soient de l'ordre de $\mathcal{O}(h^2) + \mathcal{O}(k^2)$, et que les conditions CFL soient satisfaites. 
+%    \item Quelles sont les conditions de stabilité sur $h$ et $k$ ?
+%    \item Dans la région de stabilitié, votre schéma est-il \textit{dispersif} ou \textit{dissipatif} ? \\
+%      Considérez maintenant la condition initiale suivante: 
+%
+%
+%      \begin{equation}
+%        f(x) = 
+%        \begin{cases}
+%          \frac{1}{2}\left(1-\cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \right), & \text{si $0 \leq x \leq a$} \\
+%            0,              & \text{sinon},
+%        \end{cases}
+%        \label{}
+%      \end{equation}
+%      avec $a = 0.09$, et les paramètres $c=1$ et $b=4$. Discrétisez selon ce qui vous semble raisonnable (ne pas avoir peur: il faut au moins 150  points de grille)
+%    \item Utilisez un pas de temps $k$ qui satisfait la condition de stabilité et estimez $u$ jusque $t=2.0$ pour $0\leq x \leq 1$ et dessinez les solutions exactes et numériques pour $t=0$, $t=0.4$ $\ldots$ $t=2.0$. 
+%    \item Répétez l'étape précédente en doublant le nombre de points.
+%    \item Estimez les vitesses de phase et de groupe en fonction du nombre d'onde : comparez la valeur théorique avec les valeurs numériques dans les deux cas de discrétisation.
+%    \item Commentez vos résultats. 
+%  \end{enumerate}
+%\end{exerciceexamen}
+%\end{frame}
+%\begin{frame}
+%\begin{exerciceexamen}
+%\tiny
+%Considerez l'équation d'advection-diffusion suivante:
+%\begin{equation}
+%D u_{xx} - a u_x - bu = u_t
+%\label{}
+%\end{equation}
+%\begin{enumerate}
+%\item Fournissez un schéma numérique explicite d'ordre $\mathcal{O}(h+k)$. Donnez-en le stencil. Nous pouvons introduire les facteurs $\lambda_d = Dk/h^2$, $\lambda_a = ak/h$ et $\lambda_b = bk$. Quelles importances ces facteurs ont-ils pour la condition de stabilité ? 
+%\item Fournissez la solution analytique de l'équation, ainsi que la relation de dispersion. Discutez brièvement les cas particuliers déjà vus au cours ($D=0$, $b=0$, etc. ) 
+%\item Fournissez un schéma implicite. Est-il toujours stable ? 
+%\item Illustrez votre propos avec plusieurs simulations numériques, comparant schémas numériques implicites et explicites
+%\item Montrez, dans ces schéma numériques, quels termes sont responsables de la diffusion numérique. Quel est son ordre de grandeur par rapport à la diffusion explicitement modélisée par le terme $D$ ?
+%\item Comparez vitesse de groupe numérique avec celle du système originel. Le schéma est-il dispersif ? 
+%\item Le terme de diffusion $D$ peut-il être responsable d'un comportement instable? Expliquez
+%\item Fournissez un schéma de Lax-Wendroff à trois points ($i-1$, $i$, $i+1$) dans l'espace. Quel est l'ordre de ce schéma ? Est-il monotone ? Discutez les avantages et les inconvénients au schéma que vous avez donné au point 1 ci-dessus. 
+%\end{enumerate}
+%\end{exerciceexamen}
+%
+%\end{frame}
+