@@ -44,7 +44,7 @@ frametitle("Théorème de Bézout")
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@@ -44,7 +44,7 @@ frametitle("Théorème de Bézout")
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> **Définition** Le *Greatest Common Divisor (GCD)* de deux nombres ``a \in \mathbb{Z}`` et ``b \in \mathbb{Z}``, noté ``\text{gcd}(a, b)`` est le plus grand nombre ``g \in \mathbb{Z}`` qui divise ``a`` (noté ``g \mid a``) et ``b`` (noté ``g \mid b``). C'est à dire qu'il existe ``x \in \mathbb{Z}`` tel que ``a = gx`` et ``y \in \mathbb{Z}`` tel que ``b = gy``. En notation modulaire, ``a \equiv 0 \pmod{g}`` et ``b \equiv 0 \pmod{g}``.
> **Définition** Le *Greatest Common Divisor (GCD)* de deux nombres ``a \in \mathbb{Z}`` et ``b \in \mathbb{Z}``, noté ``\text{gcd}(a, b)`` est le plus grand nombre ``g \in \mathbb{Z}`` qui divise ``a`` (noté ``g \mid a``) et ``b`` (noté ``g \mid b``). C'est à dire qu'il existe ``x \in \mathbb{Z}`` tel que ``a = gx`` et ``y \in \mathbb{Z}`` tel que ``b = gy``. En notation modulaire, ``a \equiv 0 \pmod{g}`` et ``b \equiv 0 \pmod{g}``.
> **Théorème de Bézout** Il existe ``x, y \in \mathbb{Z}`` tels que ``ax + by = c`` si et seulement si ``\text{gcd}(x, y)`` divise ``c``. En notation modulaire ``ax \equiv c \pmod{b}`` et ``by \equiv c \pmod{a}``.
> **Théorème de Bézout** Il existe ``x, y \in \mathbb{Z}`` tels que ``ax + by = c`` si et seulement si ``\text{gcd}(a, b)`` divise ``c``. En notation modulaire ``ax \equiv c \pmod{b}`` et ``by \equiv c \pmod{a}``.
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# ╔═╡ 7bad8c6c-45c7-402f-ad59-6857e9268901
# ╔═╡ 7bad8c6c-45c7-402f-ad59-6857e9268901
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@@ -72,7 +72,7 @@ qa(md"**Observation clé** Que dit le théorème de Bézout par rapport à ``\te
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@@ -72,7 +72,7 @@ qa(md"**Observation clé** Que dit le théorème de Bézout par rapport à ``\te
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Le nombre ``a`` est **divisible** par ``\text{gcd}(d, r)``.
Le nombre ``a`` est **divisible** par ``\text{gcd}(d, r)``.
Le nombre ``\text{gcd}(d, r)`` divise donc les 3 nombres, ``a``, ``d`` et ``r`` et donc ``\text{gcd}(d, r) = \text{gcd}(a, d, r)``.
Le nombre ``\text{gcd}(d, r)`` divise donc les 3 nombres, ``a``, ``d`` et ``r`` et donc ``\text{gcd}(d, r) = \text{gcd}(a, d, r)``.
En combinant ça avec l'observation précédente, on a le résultat suivant.``\text{gcd}(a, d) = \text{gcd}(d, r)``.
En combinant ça avec l'observation précédente, on a ``\text{gcd}(a, d) = \text{gcd}(d, r)``. On peut généraliser cela en le lemme suivant: