@@ -164,43 +164,174 @@ On peut maintenant dérouler le calcul de l'intégration:
# ╔═╡ 5b54b89b-09cc-4dbe-872e-b241bae147eb
md"""
**Point d'attention** Faites attention au sens de l'intégral ! La borne inférieur doit toujours être supérieure à la borne supérieure. Ici, ``1 - 1/x`` est supérieur à ``0`` car ``x`` est supérieur à ``1`` donc ``1 - 1/x`` est bien la borne supérieure. Si les bornes ne sont pas mises dans le bon sens, on obtient l'opposé de l'intégral qu'on cherche à calculer ! Pour être sûr de ne pas vous tromper, faites le dessin et en vérifiez que les flèches vont bien dans le sens de ``x`` (resp. ``y``) croissant.
### Point d'attention
#### Bornes dans le mauvais sens
Faites attention au sens de l'intégral ! La borne inférieur doit toujours être inférieure à la borne supérieure. Ici, ``1 - 1/x`` est supérieur à ``0`` car ``x`` est supérieur à ``1`` donc ``1 - 1/x`` est bien la borne supérieure. Si les bornes ne sont pas mises dans le bon sens, on obtient l'opposé de l'intégral qu'on cherche à calculer ! Pour être sûr de ne pas vous tromper, faites le dessin et en vérifiez que les flèches vont bien dans le sens de ``x`` (resp. ``y``) croissant. Par exemple, si on met ``1 - 1/x`` comme borne inférieure et ``0`` comme borne supérieure, ça revient à mettre les flèches comme dans le dessin ci-dessous. On voit que les flèches vont vers le bas, ce qui correspond à un sens décrossant pour ``x``, ce qui indique que les bornes sont dan sle mauvais sens !
"""
# ╔═╡ 21fcbf6d-f48b-4c55-a5c2-c27e8126f691
md"""
#### Mauvais côté de la courbe
Il faut également faire attention à sélectionner les bonnes bornes. La variables ``y`` a initialement comme bornes ``0`` et ``1/2``. Si on prend ``1/2`` comme borne,
l'intégrale qu'on fait correspond au dessin ci-dessous.
"""
# ╔═╡ ceb1ef2c-2630-447c-a867-5e237e951d57
md"""
On voit que les flèches ne sont pas du même côté de la courbe par rapport à l'intégrale initiale. Ces bornes ne calculent donc pas la bonne intégrale!
"""
# ╔═╡ 1e663c6f-e6bb-4bb6-bfec-d3b000c4587b
md"""
#### Fonction non-injective
Lorsqu'on change l'ordre des intégrales, il faut inverser la formule pour avoir l'expression de ``y`` en fonction de ``x`` depuis l'expression de ``x`` en fonction de ``y``. Si la fonction n'est pas injective, elle n'a pas d'inverse unique, que faire ?
Il faut alors décomposer l'intégrale en plusieurs sous-intégrales pour lesquelles la fonction est injective quand elle est restreinte à chaque sous-interval.
La fonction ``y = x^2`` n'est pas inversible car il y a deux inverses, on a ``x = \pm\sqrt{y}``. Si on restricte la fonction pour ``x < 0``, on a alors l'inverse unique ``x = -\sqrt{y}``. On a donc