**Définition** Une **composante fortement connexe** d'un graphe dirigé ``G(V, E)`` est un ensemble ``V' \subseteq V`` tel qu'il existe un chemin de ``u`` vers ``v`` pour tous ``u, v \in V'``.
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# ╔═╡ d819bd0c-966d-46b4-88fc-8246989b070e
md"""
Si un graph contient un cycle, tous les noeuds de ce cycle sont contenus dans la même composante fortement connexe.
Si chaque composante fortement connexe est fusionnée en un noeud, il ne reste plus de cycle.
Le graphe résultat n'a donc plus de cycle, il est dit *acyclique* (DAG).
On va voir que beaucoup de problème peuvent se voir comme un problème de calcul de chaque noeud d'un graphe où les arêtes représentent les dépendences de calcul.
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# ╔═╡ d4cb08b6-7829-45fe-ab61-b45b39b6c3ec
md"""
```math
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...
@@ -624,6 +646,14 @@ md"n = $slider_n"
# ╔═╡ cf1fd0a7-0512-4b0f-800a-912be0c6138a
md"Nombre d'appels de `fib(k)` venant de `fib(n)`"
# ╔═╡ 76ca63ec-10cb-485c-a0f4-fc4209201032
md"""
**Définition** *Ordre topologique*: Ordre des noeuds dans lequel chaque noeud ``u`` apparait après tous les noeuds ``v`` tels qu'il y a un chemin de ``u`` vers ``v``.
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# ╔═╡ f9e49361-cdbc-4b77-baf6-1cdb8ed93bce
md"n = $slider_n"
# ╔═╡ 09192bc0-ac3e-47fe-8307-67f9c66d4f8e
md"n = $slider_n"
...
...
@@ -634,12 +664,6 @@ md"""
* ...mais avec l'aide de la programmation dynamique!
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# ╔═╡ beb44e5f-2677-448e-8a23-6611ad0dd65d
function minimax(nrows::Integer,ncols,longueur;vert=-200,w=1200,h=600,dy=140,damping=0.9,Δy=55,scaling)
Comme on a vu avec Fibonacci et le puissance 4, beaucoup de problème de calcul peuvent se représenter par un graphe où le but est de calculer la valeur d'un noeud du graphe et chaque arête ``(u, v)`` signifie que pour calculer la valeur du noeud ``u``, il faut d'abord calculer la valeur du noeud ``v``.
Considérons le problème de calculer de combien de manières différentes ``x_n``, on sait faire une certaine somme avec des pièces de monnaie.
Par exemple, pour faire 3 € avec les pièces de 1 € et 2 €, on peut soit utiliser 3 pièces de 1 € ou 1 pièce de 2 € et une pièce de 1 € donc il y a 2 possibilitées.
Quel graphe peut-on utiliser pour modéliser ce problème ? On peut utiliser un noeud par somme en €, représentant la solution du problème pour cette somme là. Si on ne travaille pas avec les cents, et que avec les billets jusque 10 €, on a
On a donc les arêtes ``(n, n - 10)``, ``(n, n - 5)``, ``(n, n - 5)`` et ``(n, n - 1)``.
"""
# ╔═╡ 1e6c4a4a-6c76-4f55-ac9d-bc93ccedc190
qa(md"Est-ce que cette formule donne le bon résultat ?",
md"""
Non. Ça considère plusieurs fois la même combinaison. Par exemple, ``x_3`` serait calculé comme ``x_2 + x_1 = 2 + 1 = 3`` alors que ``x_3 = 2``. Le problème c'est que ça considère que prendre une pièce de 2 € puis une pièce de 1 € est différent d'une pièce de 1 € puis une pièce de 2 €.
Il y a une symmétrie dans le problème due au fait qu'on ne se souce pas de l'ordre des pièces et on aimerait casser cette symmétrie.
Pour cela, on empêche de considérer les solutions où une pièce/billet arrive après une de moins grande valeur. Donc on ne peut pas prendre une pièce de 1 € puis une de 2 €.
Au noeud 2, on ne peut que prendre l'arête correspondant à la pièce de 2 € si on n'a pas encore pris de pièce de 1 € avant.
Seulement, la possibilité de prendre une arête ne dépend que du noeud, pas du passé des arêtes déjà prises.
On a donc besoin de considérer un graphe différent.
""")
# ╔═╡ f4562517-53ec-429c-a398-3f146a82df22
md"""
Considérons la valeur ``y_{n,k}`` qui correspond à la façon de faire la somme ``n`` avec des billets/pièces de valeur max ``k``.
"""
# ╔═╡ 174b7c95-a9f7-4cfd-a679-8000a26b39c9
qa(md"Quelle est la formule pour ``y_{n,10}`` ? Quel est le graphe ? Est-ce que la bonne valeur est calculée ?",
Le graphe a donc les arêtes ``((n, 10), (n - 10, 10))``, ... La bonne valeur est maintenant calculée, on a bien ``y_{3, 2} = y_{1, 2} + y_{2, 1} = 1 + 1 = 2``.
""")
# ╔═╡ 783532d8-910e-434d-bf59-0c8dc75cfef3
md"""
**Exercice**: Implémenter le calcul avec l'approche top-down et bottom-up. Laquelle est la plus rapide ? Pourquoi ?
**Supplémentaire**: On peut aussi utiliser la formule
