Ajout de l'exam 2018 mineure de Graphes & correction ananum (#787)

* Solution question 3 tdg mineure 2018

* Resolution question 4 (vrai ou faux) tdg 2018 mineure

* Preconditionnement à gauche: on cherche M proche de A et pas A^{-1}

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src/q5/ananum-INMA1170/summary/ananum-INMA1170-summary.tex

@@ -2758,7 +2758,7 @@ Un bon préconditionneur est un préconditionneur tel que
 les valeurs propres de $M^{-1}A$ soient centrées dans une petite région
 autour de $1$,
 et que $\norm{M^{-1}A - I}_2$ soit petit.
-On veut que $M$ soit proche de $A^{-1}$.
+On veut que $M$ soit proche de $A$.
 
 \subsection{Préconditionneurs à gauche, à droite et symétriques}
 L'exemple donné ci-dessus est un préconditionneur à gauche,

src/q5/tdg-INMA1691/exam/2018/Janvier/Mineure/tdg-INMA1691-exam-2018-Janvier-Mineure.tex

 \documentclass[fr]{../../../../../../eplexam}
 
 \hypertitle{Théorie et algorithmique des graphes}{5}{INMA}{1691}{2018}{Janvier}{Mineure}
-{Gilles Peiffer}
+{Romain Graux \and Gilles Peiffer}
 {Vincent Blondel et Jean-Charles Delvenne}
 
 Veuillez expliquer vos raisonnements avec clarté,
@@ -52,4 +52,96 @@ de passer en une étape aux marches $v_1$ et $v_2$.
 
 \nosolution
 
+\section{Question 2}
+
+Le Choixpeau magique est chargé, au collège de Poudlard, de répartir les 50 nouveaux étudiants entre les quatre maisons Serpentard, Serdaigle, Poufsouffle et Gryffondor. La chose n’est pas simple car certaines paires d’élèves, par exemple Potter et Malefoy, éprouveraient une certaine répulsion à l’idée de devoir cohabiter.
+
+Albus Dumbledore, le directeur de l’établissement, trace d’un air songeur un graphe des étudiants en conflit, en reliant par exemple les noms de Potter et Malefoy. Il remarque que ce graphe de 50 noeuds est connexe et 4-régulier (chaque étudiant est en conflit avec exactement 4 autres étudiants).
+
+\begin{enumerate}
+	\item Montrez que le Choixpeau magique peut proposer une répartition qui évite tout conflit dans une maison.
+	\item Severus Rogue, l’austère professeur de Potions, se dit qu’il serait plus formateur d’introduire une saine émulation au sein de certaines maisons qu’inondent un peu trop l’entraide et la joie de vivre. Il propose de trouver un élève dans le graphe, de façon à ce que les autres étudiants
+	se retrouvent répartis en exactement trois composantes connexes. L’élève irait alors seul à Serpentard ; l’une des composantes connexes serait attribuée à la maison Gryffondor, l’autre à Poufsouffle, la troisième à Serdaigle. Démontrez que le plan du Prof. Rogue n’est pas possible. Le théorème des poignées de main pourrait vous être utile.
+\end{enumerate}
+
+\nosolution
+
+\section{Question 3}
+
+La Commission Européenne doit de toute urgence traduire un communiqué de presse du français dans huit autres langues européennes : l’anglais, l’espagnol, l’italien, le finnois, le suédois, le portugais, le hongrois et le letton.
+Les traducteurs Alphonse, Bertrand, Charline, Donald, Emilie, Fleur, Gérard et Henriette sont diponibles. La liste des langues maîtrisées par les traducteurs sont indiquées sur la figure ci-dessous. Chaque traducteur, en une journée de travail, peut traduire vers une autre langue.
+Comment assigner les langues aux traducteurs de façon à disposer d’un maximum de traductions après un jour? Combien de jours faudra-t-il au minimum pour tout traduire? Démontrez vos affirmations.
+
+\begin{figure}[H]
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./imgs/graphe.png}
+\end{figure}
+
+\begin{solution}
+	Une solution peut être la suivante:
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./imgs/grapheSol.png}
+	\end{figure}
+
+	Pour déterminer si ce couplage est maximal, prenons le sous-graphe suivant avec toutes ses arêtes adjacentes:
+	\begin{figure}[H]
+		\centering
+		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{imgs/sousGraphe.png}
+	\end{figure}
+	De ce sous-graphe on peut bien se rendre compte qu'il n'y a pas de couplage \(M\)-augmenté, le couplage est donc maximum mais pas parfait, les traductions se feront donc sur 2 jours.
+\end{solution}
+
+
+\section{Question 4}
+
+Vrai ou faux? Justifiez.
+
+\begin{enumerate}
+	\item Sentant sa mort venir Nabuchodonosor IV, roi de Babylone, partitionna son pays, vaste territoire d’un seul tenant, en 5 royaumes d’un seul tenant pour ses 5 fils, de sorte que chaque prince avait une frontière commune (non réduite à un point) avec chacun des territoires des ses frères.
+	\item Il existe un graphe simple à 6 noeuds dont les degrés sont 1, 2, 3, 4, 4, 5.
+	\item Si P $\neq$ NP, alors vérifier qu’un graphe donné possède une clique de 100 noeuds est aussi difficile (en terme de temps de calcul asymptotique requis, et à une transformation polynomiale près) que celui de vérifier qu’un graphe donné est hamiltonien.
+	\item Le graphe de l’hypercube de dimension n $\geq$ 1 (dont les noeuds sont les points de coordonnées binaires de $R^n$ et les arêtes relient les noeuds à distance euclidienne unité) est hamiltonien pour tout \(n\).
+	\item Un arbre de degré maximum 10 possède toujours un coloriage propre d’arêtes à 10 couleurs.
+	\item Bonus : un graphe complet à \(n \geq\) 3 noeuds dont chaque arête est coloriée en bleu ou rouge possède toujours un cycle hamiltonien qui est monochrome ou qui est l’union de deux chemins monochromes.
+\end{enumerate}
+
+\begin{solution}
+	\begin{enumerate}
+		\item Faux : On peut représenter cet agencement en tant que graphe, les n\oe{}uds représentant le territoire d'un frère et les arêtes étant les frontières entre eux. Pour que chaque frère ait une arête avec chacun de ses frères, ce graphe est le graphe complet $K_5$. Ce graphe n'étant pas planaire, il est impossible pour ces frères d'avoir une frontière en commun avec chacun de ces frères et gardant son pays en un seul tenant.
+		\item Faux : $\sum d_i = 19$ (impair), d'après le théorème des poignées de main, il est donc impossible d'avoir un graphe avec ces degrés de n\oe{}ud.
+		\item Ok google
+		\item Vrai
+		\item Vrai : étant donné que chaque arête doit se finir quelque part, c'est une feuille.
+		Procédons par récurrence.
+		Initialisation: Lorsqu'il n'y a qu'un seul n\oe{}ud,
+		le degré maximum vaut $1$ et il y a une feuille.
+		Induction: admettons que la propriété soit vraie
+		pour $\Delta(G) = n-1$.
+		Si l'on rajoute un n\oe{}ud
+		et qu'on trace une arête vers un n\oe{}ud
+		qui n'est pas de degré maximal,
+		le graphe possèdera une feuille en plus.
+		Si l'on rajoute un n\oe{}ud
+		et qu'on trace une arête vers un n\oe{}ud est de degré maximal,
+		le graphe possèdera une feuille en plus
+		et le degré maximal aura augmenté d'un aussi.
+		Nous avons donc
+		dans tous les cas $n_{\textnormal{feuilles}} \ge \Delta(G)$.
+		\item Vrai.
+		\begin{proof}
+		Par induction: le cas de base est trivialement vrai.
+		Prenons le graphe \(K_n\), en supposant le théorème vrai pour \(K_{n-1}\).
+		Le graphe \(K_n \setminus v\), où \(v\) est un n\oe{}ud quelconque, est donc une copie de \(K_{n-1}\), et contient donc un cycle hamiltonien du type requis.
+		Si ce cycle est monochromatique, on choisit aléatoirement deux n\oe{}uds consécutifs du graphe sans \(v\), disons \(a\) et \(b\), et on étend le cycle pour \(K_n\) comme en remplaçant \(ab\) par \(avb\), qui reste soit monochromatique si \(av\) et \(vb\) sont de la même couleur que le cycle de base, soit devient une union de monochromatiques si au moins une arête parmi \(av\) et \(vb\) est de l'autre couleur.
+		S'il n'est pas monochromatique, on choisit un n\oe{}ud \(u\) à la frontière entre les chemins monochromatiques dans \(K_{n-1}\).
+		Appelons ses deux voisins \(r\) et \(b\), respectivement dans la partie rouge et bleue du cycle.
+		L'on peut alors procéder par construction: si l'arête \(uv\) est rouge, alors l'on remplace \(rub\) par \(ruvb\), qui satisfait la condition requise dans les deux cas, car \(vb\) peut toujours être relié à un chemin monochromatique de la même couleur.
+		Si l'arête \(uv\) est bleue, alors l'on remplace \(rub\) par \(rvub\), qui ne casse pas la propriété par un raisonnement semblable.
+		
+		Ceci prouve le résultat demandé.
+		\end{proof}
+	\end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \end{document}