@@ -1225,7 +1225,7 @@ Discutez les stabilités A (i.e.: solution bornée) et L des trois méthodes ci-
...
@@ -1225,7 +1225,7 @@ Discutez les stabilités A (i.e.: solution bornée) et L des trois méthodes ci-
\begin{frame}
\begin{frame}
\begin{exercice}
\begin{exercice}
Considérez l'équation $u_t = D u_{xx}- bu=0$, où $D$,$b$ sont des constantes positives, $u(0,t)=u(1,t)=0$ et $u(x,0)=g(x)$.
Considérez l'équation $u_t = D u_{xx}- bu$, où $D$,$b$ sont des constantes positives, $u(0,t)=u(1,t)=0$ et $u(x,0)=g(x)$.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Montrez que la solution exacte est $u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-(b+D\lambda_n^2)t}\sin(\lambda_n x)$, où $\lambda_n=n\pi$ et $A_n$ sont les coefficients de Fourier $A_n=2\int_0^1 g(x)\sin(\lambda_n x)\,\mathrm{d} x$.
\item Montrez que la solution exacte est $u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-(b+D\lambda_n^2)t}\sin(\lambda_n x)$, où $\lambda_n=n\pi$ et $A_n$ sont les coefficients de Fourier $A_n=2\int_0^1 g(x)\sin(\lambda_n x)\,\mathrm{d} x$.
\item Cherchez un schéma \emph{implicite} en différence finie d'erreur $\mathcal{O}(h^2)+\mathcal{O}(k)$. Exprimez le résultat sous forme matricielle. Quel est l'intérêt d'un schéma implicite dans ce contexte\ ?
\item Cherchez un schéma \emph{implicite} en différence finie d'erreur $\mathcal{O}(h^2)+\mathcal{O}(k)$. Exprimez le résultat sous forme matricielle. Quel est l'intérêt d'un schéma implicite dans ce contexte\ ?
